Koordinaten bzgl. Basis

15.07.2009, 09:15

Frage_Peter

Koordinaten bzgl. Basis

Guten morgen, ich habe mal eine Frage ob dieses Schema was ich nun aufschreibe allgemein Gültig ist und ob es für diese Gleichung einen Namen gibt.
Sei $\begin{eqnarray*} w=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v_2=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v_3=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v_4=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bilden eine ONB des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4} \end{eqnarray*}$ .
Bestimmen sie die Koordinaten von w bezüglich dieser Basis.

Rechnung:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} \in v: \vec{x} = <x,x_1>\vec{v_1}+<x,x_2> \vec{v_2}+<x,x_3> \vec{v_3}+<x,x_4> \vec{v_4} \end{eqnarray*}$
Und dann ist z.b. $\begin{eqnarray*} \alpha_1 = <x,x_1> = 10 \end{eqnarray*}$ Was die erste Koordinate ist. (Mit 2,3,4 macht man es genauso)
Gibt es für diesen Ansatz irgendwo einen Beweis oder etwas ähnliches?

15.07.2009, 10:15

klarsoweit

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RE: Koordinaten bzgl. Basis

Zitat:

Original von Frage_Peter
$\begin{eqnarray*} \vec{x} \in v: \vec{x} = <x,x_1>\vec{v_1}+<x,x_2> \vec{v_2}+<x,x_3> \vec{v_3}+<x,x_4> \vec{v_4} \end{eqnarray*}$

Bitte etwas mehr formale Genauigkeit. Es ist:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = <\vec x, \vec{v_1}>\vec{v_1} + <\vec x, \vec{v_2}> \vec{v_2} + <\vec x, \vec{v_3}> \vec{v_3} + <\vec x, \vec{v_4}> \vec{v_4} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Frage_Peter
Gibt es für diesen Ansatz irgendwo einen Beweis oder etwas ähnliches?

Es gibt eindeutige Koeffizienten alpha_i mit:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \alpha_1 \cdot \vec{v_1} + \alpha_3 \cdot \vec{v_2} + \alpha_3 \cdot \vec{v_3} + \alpha_4 \cdot \vec{v_4} \end{eqnarray*}$

Bilde nun den Vektor y mit $\begin{eqnarray*} \vec{y} := <\vec x, \vec{v_1}>\vec{v_1} + <\vec x, \vec{v_2}> \vec{v_2} + <\vec x, \vec{v_3}> \vec{v_3} + <\vec x, \vec{v_4}> \vec{v_4} \end{eqnarray*}$

Was stellst du fest?

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