Beweis Binomialsumme

15.07.2009, 11:23

UniAcc

Beweis Binomialsumme

Hallo erstmal,
ich brauche dringend Hilfe und zwar soll das angefügte gezeigt werden.
Mir fehlt leider jeglicher Ansatz, deswegen bin ich um jede Hilfe dankbar.

15.07.2009, 11:30

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau genommen ist die Aussage falsch, da der Grenzwert nicht 0.95, sondern $\begin{eqnarray*} 2\Phi(1.96)-1 \end{eqnarray*}$ ist. Das ist zwar sehr nah an 0.95, aber eben nicht genau. Augenzwinkern

Abgesehen von dieser numerischen Ungenauigkeit verläuft der Beweis natürlich direkt über den zentralen Grenzwertsatz.

15.07.2009, 12:36

UniAcc

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, fein.
Da wir grad beim Thema "Zentraler Grenzwertsatz" sind, hatte ich mir das schon fast gedacht. Ich weiß jedoch immer noch nicht, wie ich die Aufgabe mit dem ZGWS ansetzen soll.

15.07.2009, 13:59

Auf diesen Beitrag antworten »

Für die binomialverteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X_n \sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ betrachte die zugehörige normierte Größe $\begin{eqnarray*} Z_n = \frac{X_n-E(X_n)}{\sqrt{\operatorname{var}(X_n)}} = \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \end{eqnarray*}$ , so wie sie im ZGWS auftritt. Dann kannst du nämlich schreiben

$\begin{eqnarray*} && \sum\limits_{np-1.96\sqrt{np(1-p)} \leq k \leq np+1.96\sqrt{np(1-p)}} ~ \binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k} = \sum\limits_{np-1.96\sqrt{np(1-p)} \leq k \leq np+1.96\sqrt{np(1-p)}} ~ P(X_n=k) \\ &=& P(np-1.96\sqrt{np(1-p)} \leq X_n \leq np+1.96\sqrt{np(1-p)}) = P(-1.96 \leq Z_n \leq 1.96) \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt beweg dich endlich mal.

15.07.2009, 14:14

UniAcc

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finds ja echt nett, dass du einem hilfst, aber nur weil es für dich einfach scheint, heißt das nicht, dass jeder das auf Anhieb lösen kann.
Ich selber bin E-Techniker und muss das Fach leider belegen.
Außerdem ist es nicht gerade mein Lieblingsfach.
Seis drum, ich hab mal einen Lösungsansatz gestartet, welcher auch gar nicht schlecht aussieht.
Kannst du mir sagen, ob das so korrekt ist?

http://img329.imageshack.us/img329/6788/uiouo.jpg

15.07.2009, 14:18

Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann zeig ihn doch.

Ich muss dir auch sagen, dass ich auf altkluge Bemerkungen wie

Zitat:

Original von UniAcc
Da wir grad beim Thema "Zentraler Grenzwertsatz" sind, hatte ich mir das schon fast gedacht.

ziemlich schlecht reagiere, wenn sie ohne jede echte Handlung daherkommen.

EDIT: Achso, hast im Edit noch ein Bild nachgeschoben. Genau in der letzten Zeile ist aber ein Fehler. Es gilt nämlich zunächst mal nur

$\begin{eqnarray*} \cdots = F_{Z_n}(1.96) - F_{Z_n}(-1.96) \end{eqnarray*}$ .

Erst mit dem ZGWS, dessen Aussage ja

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to \infty} F_{Z_n}(t) = \Phi(t) \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$

ist, kann man im Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ auf die letzte Zeile deiner Betrachtungen kommen.

15.07.2009, 14:38

UniAcc

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, stimmt. das hab ich jetzt halt mal vorausgesetzt,
da wir die ganze Zeit vom ZGWS geredet haben.
Sonst ists aber korrekt, wenn ich deine Antwort richtig interpretiere?

15.07.2009, 14:44

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von UniAcc
da wir die ganze Zeit vom ZGWS geredet haben.

"Wir" nicht, hier im Thread habe ich den ZGWS erstmals angesprochen - in deinem Eröffnungsposting war nicht die geringste Anmerkung dazu.

Und zur Korrektheit: Bis zur vorletzten Zeile Ok, und dann lässt du den Grenzübergang unter den Tisch fallen, was so nicht geht.

15.07.2009, 14:55

UniAcc

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke. Lehrer

Neue Frage »

Antworten »

Beweis Binomialsumme

Verwandte Themen