Sylow-Sätze und Struktur von endl. Gruppen

15.07.2009, 16:55

Dieter S.

Sylow-Sätze und Struktur von endl. Gruppen

Hallo liebes Matheboard,
ich habe ein Problem mit den Sylow-Sätzen und wie man mit hilfe dieser auf die Struktur endlicher Gruppen schließen kann.

Also:
Sei p := 499, q := 503 (beides Primzahlen) und sei G eine endliche Gruppe mit $\begin{eqnarray*} |G| = p^2q \end{eqnarray*}$ .

Über die Sylow-Sätze weiß ich nun, dass G genau eine p-Sylow-Untergruppe der Ordnung p^2 und eine q-Sylow-Untergruppe der Ordnung q enthält, womit beide Untergruppen normal sind.

Nun möchte ich ich auf die Struktur der Gruppe G schließen, d.h., ist G abelsch, zyklisch oder Isomorph zu bestimmten bekannten Gruppen.

Nun hatten wir den folgenden Satz in der Vorlesungen:
Sei G eine Gruppe mit normalen Untergruppen P, Q so dass $\begin{eqnarray*} P \cap Q=\{1\} \end{eqnarray*}$
Dann gilt: $\begin{eqnarray*} PQ := \{ab | a \in P, b \in Q\} \end{eqnarray*}$ ist isomorph zu $\begin{eqnarray*} P \times Q \end{eqnarray*}$

Zu den oben gegeben Beispiel denke ich mal, dass die p-Sylow-Untergruppe (bezeichnet mit P) und q-Sylow-Untergruppe (bezeichnet mit Q) diese Bedingung ( $\begin{eqnarray*} P \cap Q=\{1\} \end{eqnarray*}$ ) erfüllt (weiß aber nicht genau warum).

Damit folgt, doch, dass die Ordnung von PQ gleich $\begin{eqnarray*} |PQ| = p^2q \end{eqnarray*}$ ist, also PQ = G.
Also ist G isomorph zu $\begin{eqnarray*} P \times Q \end{eqnarray*}$

Ich weiß, Q ist isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Zu P weiß ich (da |P|=p^2), dass P entweder zyklisch oder isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist.

Also gilt:
$\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Damit folgt insbesondere, dass G abelsch ist.

Ist dies soweit alles richtig. Kann mir evt. noch jemand helfen, warum für eine p-Sylow-Untergruppe und q-Sylow-Untergruppe $\begin{eqnarray*} P \cap Q = \{1\} \end{eqnarray*}$ gilt, sofern es überhaupt stimm.

Kann man noch weitere Sachen folgern, zum Beispiel ob es zyklisch ist?

Wäre über hilfe echt dankbar.

15.07.2009, 17:08

Sly

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RE: Sylow-Sätze und Struktur von endl. Gruppen

Zitat:

Ist dies soweit alles richtig. Kann mir evt. noch jemand helfen, warum für eine p-Sylow-Untergruppe und q-Sylow-Untergruppe $\begin{eqnarray*} P \cap Q = \{1\} \end{eqnarray*}$ gilt, sofern es überhaupt stimm.

Der Schnitt zweier Untergruppen ist eine Untergruppe. Was muss für die Ordnung dieser Untergruppe gelten?

15.07.2009, 17:14

Dieter S.

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RE: Sylow-Sätze und Struktur von endl. Gruppen
Hallo,

Zitat:

Original von Sly

Zitat:

Der Schnitt zweier Untergruppen ist eine Untergruppe. Was muss für die Ordnung dieser Untergruppe gelten?

ah okay, super danke smile

Die Ordnung der Untergruppe muss die Ordnung der Gruppe teilen.

D.h. $\begin{eqnarray*} |P \cap Q| \text{ teilt } p^2 = |P| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |P \cap Q| \text{ teilt } q = |Q| \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} |P \cap Q| = 1 \end{eqnarray*}$ .

Ist denn der Rest der Überlegung soweit richtig?

15.07.2009, 21:58

Mathespezialschüler

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Ja, der Rest stimmt alles.

Zitat:

Original von Dieter S.
Kann man noch weitere Sachen folgern, zum Beispiel ob es zyklisch ist?

Nach dem Chinesischen Restsatz ist

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p^2\mathbb Z\times \mathbb Z/q\mathbb Z\simeq\mathbb Z/p^2q\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Der andere Isomorphietyp ist aber nicht zyklisch, weil ja bereits $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p\mathbb Z\times\mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ nicht zyklisch ist.

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