Cov= E(xy) - E(x)E(y) ???

15.07.2009, 18:30

HansHanson

Cov= E(x*y) - E(x)*E(y) ???

Hey! hab hier gerade was an der Korrelation nicht verstanden. Um die zu bekommen brauche ich ja erstmal die Cov.

Es geht um eine Aufgabe bzgl der Notenverteilung von Lehrer x und Lehrer y

X 1 2 3 4 5
12 35 38 38 20

Y 1 2 3 4 5
15 22 64 28 21

E(x) ist ja (12+35+38+38+20) / 150 = 3,03
E(y) ist ja (15+22+64+28+21)/ 150 = 3,12

(Auch die Ergebnisse der Standardabweichungen bringen mich nicht weiter
1,24 und 1,13 )

soweit so gut ...aber wie berechne ich dann E(x*y) ?
ich kann doch da nicht einfach alle X und alle Y Werte addieren und dann beide multiplizieren und durch 300 teilen ?!

und bei einer Korrelation besteht ja stat. Abhängigkeit sodass E(x*y)- E(x)*E(y) ungleich 0 !

als Lösung steht da 10,36 ...aber was ich auch mache ...ich komme partout nicht drauf...kann mir vllt jemand weiterhelfen? Danke im Voraus!
LG; Hans

15.07.2009, 18:45

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Zitat:

Original von HansHanson
aber wie berechne ich dann E(x*y) ?

Dazu reichen deine Daten nicht aus: Dazu brauchst du eine 5x5-Tabelle aller Anzahlen für die Notenpaare (x,y). Deren Gesamtsumme ist 150, aber was du bisher nur kennst, sind die Zeilen- und Spaltensummen nicht die gesamte Tabelle. unglücklich

EDIT: Mir fällt gerade auf, die Summe deiner X-Anzahlen ist nicht 150, sondern nur 143. Gibt es auch noch Sechsen, die du vergessen hast? verwirrt

15.07.2009, 19:00

HansHanson

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Sorry! Hab mich schlau wie ich bin gleich beim ersten Wert vertippt ...19 statt 12 ...dann gehts auf! ;-)

Danke für die rasche Antwort! D.h. es muss immer erst dieses Gitter vorgegeben sein, bevor ich das berechnen kann. Gut ...unser Prof erfindet meist spontan die Aufgaben in der Vorlesung ...;-) da kann man sowas schonmal vergessen. Aber ich glaube dann versteh ich auch das Grundprinzip. ...

Und angenommen ich habe so ein Gitter ...kann ich dann daraus auch die Notenhäufigkeiten f ableiten? (also die die ich hier angegeben habe?!
denn das besagt ja dann "bspw in Feld x1y1 : wenn der Lehrer A die Note 1 gibt, gibt auch Lehrer B die Note 1 in insgesamt 8 Fällen" oder in Feld x1 y5 " Lehrer A gibt die Note 1 und Lehrer B die Note 5 in 0 Fällen"
<- etwas konfus glaub ich ;-P
vermutlich durch "Spalten und Zeilenweises Addieren"
d.h. es geht eben auch nur in die eine Richtung: 1. Gitter 2. Werte..und rückwärts nicht, oder?!

LG; Hans

15.07.2009, 19:39

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Du hast eine Matrix mit Werten

$\begin{eqnarray*} n_{i,j} \end{eqnarray*}$ ... Anzahl der Schüler mit der Notenkombination (i von Lehrer x, j von Lehrer y)

vorgegeben, dabei laufen i,j von 1 bis 5. Wenn du weiter festlegst

$\begin{eqnarray*} n_{i,\cdot} \end{eqnarray*}$ ... Anzahl der Schüler mit der Note i von Lehrer x

$\begin{eqnarray*} n_{\cdot,j} \end{eqnarray*}$ ... Anzahl der Schüler mit der Note j von Lehrer y)

dann ist klar, dass das gerade die Zeilen- und Splatensummen der Matrix sind, d.h.

$\begin{eqnarray*} n_{i,\cdot} = \sum_j n_{i,j}, \quad n_{\cdot,j} = \sum_i n_{i,j} \qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

und die Gesamtsumme aller Matrixelemente ist dann die Gesamtzahl aller Schüler:

$\begin{eqnarray*} n = \sum_i \sum_j n_{i,j} = \sum_i n_{i,\cdot} = \sum_j n_{\cdot,j} \end{eqnarray*}$

Der Erwartungswert einer beliebigen Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ der beiden Noten ergibt sich nun über

$\begin{eqnarray*} E(g(X,Y)) = \frac{1}{n} \sum_i \sum_j g(i,j) \cdot n_{i,j} \end{eqnarray*}$

Das ergibt speziell

$\begin{eqnarray*} E(X\cdot Y) = \frac{1}{n} \sum_i \sum_j i\cdot j \cdot n_{i,j} \end{eqnarray*}$

aber auch

$\begin{eqnarray*} E(X) = \frac{1}{n} \sum_i \sum_j i \cdot n_{i,j} = \frac{1}{n} \sum_i i \cdot n_{i,\cdot } \end{eqnarray*}$ wegen (*)

$\begin{eqnarray*} E(Y) = \frac{1}{n} \sum_i \sum_j j \cdot n_{i,j} = \frac{1}{n} \sum_j j \cdot n_{\cdot,j} \end{eqnarray*}$ wegen (*)

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