Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen
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15.07.2009, 20:32 McRen Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen
Hällochen,

ich habe mal ein paar Verständnisfragen zur Untersuchung von Funktionenfolgen auf gleichmäßige bzw. punktweise Konvergenz:

Erstmal ein paar Aufgaben, wo ich mir nicht sicher bin, ob das alles so stimmt:

1.) fn(x) = nxe^(-nx)

Da bilde ich dann zuerst f(x):
f(x) = lim n->unendlich fn(x) = 0

Dann muss man ja eine Folge wählen, oder? kann ich die beliebig wählen oder muss ich da irgendwas wichtiges beachten?

Hier wähle ich z.B. (Xn) = 1/n

Dann wende ich die Definition an:

lim n-->unendlich | fn(xn) - f(xn)| = | n * (1/n) * e^(-1/n) - 0| = 1/n-te Wurzel(e) = 1 und da 1 ungleich 0, folgt, dass es punktweise konvergiert.

Ist das alles so richtig? Falls ja, verstehe ich nur halt noch nicht so ganz wie man Xn auswählen soll.


Dazu mal eine zweite Aufgabe:

2.) fn(x) = sin((w/n)*x) mit w € R

Bilde f(x):
f(x) = lim n --> unendlich fn(x) = 0

Jetzt weiss ich nicht, wie ich Xn wählen soll. Wähle ich es z.B. mit (Xn) = n, dann habe ich ja:

lim n --> unendlich | sin((w/n)*n) - 0 | = sin(w) != 0 => Punktweise konvergent.

Wähle ich (Xn) = 1/n, dann:

lim n --> unendlich |sin((w/n)*(1/n)) - 0 | = sin((w/n²)) = 0 => Gleichmäßige Konvergenz.

Ich checke das nicht so ganz verwirrt

Grüüüße
15.07.2009, 20:39 McRen Auf diesen Beitrag antworten »

Bei 1.) habei ch glaube einen kleinen Fehler gemacht. Es müsste 1/e rauskommen...
16.07.2009, 09:17 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen
Zitat:
Original von McRen
Da bilde ich dann zuerst f(x):
f(x) = lim n->unendlich fn(x) = 0

So, so. Und was machst du bei negativen x? verwirrt

Zitat:
Original von McRen
Dann wende ich die Definition an:

lim n-->unendlich | fn(xn) - f(xn)| = | n * (1/n) * e^(-1/n) - 0| = 1/n-te Wurzel(e) = 1 und da 1 ungleich 0, folgt, dass es punktweise konvergiert.

Was soll denn - selbst nach Korrektur der Rechnung - diese Folgerung? verwirrt Nur wenn der Grenzwert Null ist, hat man punktweise Konvergenz.
16.07.2009, 09:55 McRen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe vergessen hinzuschreiben, dass für die Funktion gilt: fn : R+ --> R, sorry

Aber wenn dem nicht so wäre, müsste man doch einfach nur eine Fallunterscheidung machen, oder?:

Grenzwerte:
-unendlich für x < 0
null für x >= 0


Und ich dachte, wenn man die Formel lim n --> unendlich | fn(Xn) - f(Xn) | anwendet und dort null rauskommt, ist die Folge gleichmäßig konvergent, ansonsten nur punktweise konvergent, aber wie es scheint, habe ich da wohl etwas noch nicht so ganz verstanden :P

Grüße
16.07.2009, 10:44 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von McRen
Und ich dachte, wenn man die Formel lim n --> unendlich | fn(Xn) - f(Xn) | anwendet und dort null rauskommt, ist die Folge gleichmäßig konvergent, ansonsten nur punktweise konvergent, aber wie es scheint, habe ich da wohl etwas noch nicht so ganz verstanden :P

Wenn obiges gilt, ist die Funktionenfolge - wie schon oben gesagt - nur punktweise konvergent. Das solltest du dir also nochmal genau anschauen.
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