IMO 2009 in Bremen, 1.Tag

15.07.2009, 20:39

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IMO 2009 in Bremen, 1.Tag

Und wieder ist es soweit, diesmal in Deutschland. Viel Spaß beim Lösen. smile

smile

Zitat:

1.Aufgabe

Sei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine positive ganze Zahl, sowie $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ verschiedene ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3,\ldots,a_k\quad \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$ ) aus der Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ 1,2,\ldots,n\right\} \end{eqnarray*}$ derart gegeben, dass $\begin{eqnarray*} a_i(a_{i+1}-1) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i = 1,2,\ldots,k - 1 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ teilbar ist.

Man zeige, dass $\begin{eqnarray*} a_k(a_1-1) \end{eqnarray*}$ nicht durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ teilbar ist.

Zitat:

2.Aufgabe

Sei $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ ein Dreieck mit Umkreismittelpunkt $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ . Die Punkte $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ seien innere Punkte der Seiten $\begin{eqnarray*} CA \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ . Weiterhin seien $\begin{eqnarray*} K,L \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die Mittelpunkte der Strecken $\begin{eqnarray*} BP,CQ \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} PQ \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ der Umkreis von $\begin{eqnarray*} K,L \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Außerdem sein $\begin{eqnarray*} PQ \end{eqnarray*}$ eine Tangente am Kreis $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ .

Man zeige, dass dann $\begin{eqnarray*} |OP| = |OQ| \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

3.Aufgabe

Es sei $\begin{eqnarray*} s_1,s_2,s_3, \ldots \end{eqnarray*}$ eine streng monoton wachsende Folge positiver ganzer Zahlen mit der Eigenschaft, dass die beiden Teilfolgen $\begin{eqnarray*} s_{s_1},s_{s_2},s_{s_3},\ldots \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_{s_1 + 1},s_{s_2 + 1},s_{s_3 + 1},\ldots \end{eqnarray*}$ arithmetische Folgen sind.

Man zeige, dass dann auch $\begin{eqnarray*} s_1,s_2,s_3, \ldots \end{eqnarray*}$ selbst eine arithmetische Folge ist.

Anmerkung: Da ziemlich frisch (von heute morgen), handelt es sich nicht um die offizielle deutsche Übersetzung, sondern um eine (hoffentlich an keiner Stelle sinnentstellenden) Übertragung aus dem Englischen durch mich.

16.07.2009, 11:09

Gualtiero

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RE: IMO 2009 in Bremen, 1.Tag
Zu Aufgabe 2 hätte ich zwei Fragen:

1. Ist die Lage der Punkte $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ u. $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ so zu verstehen, dass z. B. Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ im Kreisabschnitt liegt, der durch die Strecke $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ vom Umkreis $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ agbeschnitten wird?

2. Der Sinn des Beweises leuchtet mir nicht ein. Ob $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ entweder gegeben sind oder beliebig gewählt werden können - die beiden Strecken sind gleich lang oder sind es nicht.
Geht es vielleicht um die Entfernungen zum Mittelpunkt des Kreises $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ ?

Entschuldigung, wenn ich durch mein Unwissen eine einfache Definition nicht verstanden habe. Es interessiert mich einfach.

Danke und Gruß

16.07.2009, 12:01

AD

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Zitat:

Original von Gualtiero
1. Ist die Lage der Punkte $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ u. $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ so zu verstehen, dass z. B. Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ im Kreisabschnitt liegt, der durch die Strecke $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ vom Umkreis $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ agbeschnitten wird?

Nein, es steht doch deutlich da: Sie liegen auf den Seiten CA bzw. AB. Vielleicht eine Skizze zur Situation:

[attach]10920[/attach]

16.07.2009, 15:31

AD

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IMO 2009 in Bremen, 2.Tag

Zitat:

4.Aufgabe

Sei $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ ein Dreieck mit $\begin{eqnarray*} |AB| = |AC| \end{eqnarray*}$ . Die Winkelhalbierenden der Winkel $\begin{eqnarray*} \angle CAB \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \angle ABC \end{eqnarray*}$ schneiden die Seiten $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} CA \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ . Es gelte außerdem $\begin{eqnarray*} \angle BEK = 45^{\circ} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ der Inkreismittelpunkt des Dreieck $\begin{eqnarray*} ADC \end{eqnarray*}$ ist.

Man gebe alle möglichen Werte an, die der Winkel $\begin{eqnarray*} \angle CAB \end{eqnarray*}$ annehmen kann.

Zitat:

5.Aufgabe

Es bezeichne $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ die Menge der positiven ganzen Zahlen. Man bestimme alle Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\,\mathbb{N}\to\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft, dass es für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ein nicht entartetes Dreieck mit den Seitenlängen

$\begin{eqnarray*} a, f(b) \;\text{und}\; f(b + f(a) - 1). \end{eqnarray*}$

gibt.

Zitat:

6.Aufgabe

Gegeben seien $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verschiedene positive ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} a_1, a_2, \ldots , a_n \end{eqnarray*}$ sowie eine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ positiven ganzen Zahlen, die die Zahl $\begin{eqnarray*} s = a_1 + a_2 + \ldots + a_n \end{eqnarray*}$ nicht enthält. Ein Grashüpfer springt entlang der reellen Achse, beginnend im Nullpunkt, wobei er $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Sprünge nach rechts macht mit den Sprunglängen $\begin{eqnarray*} a_1, a_2, \ldots , a_n \end{eqnarray*}$ in irgendeiner Reihenfolge.

Man zeige, dass man diese Reihenfolge so wählen kann, dass der Grashüpfer auf seinem Weg zum Ziel niemals in irgendeinem Punkt von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ landet.

16.07.2009, 16:49

WebFritzi

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Also eher IDO - Internationale Dreiecksolympiade. Big Laugh

Big Laugh

16.07.2009, 17:05

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Kann man so sehen, wenn selbst die Funktionalgleichung nicht ohne Dreieck(sungleichung) auskommt. Big Laugh

Big Laugh

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16.07.2009, 18:00

Gualtiero

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@Arthur Dent
Jetzt ist es klar. Der Begriff "innere Punkte" war mir nicht geläufig.
Danke

16.07.2009, 18:04

AD

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Achso. Hier heißt das "innere" nur, dass die Endpunkte der Strecken nicht zur Wahl stehen.

17.07.2009, 08:50

AD

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Ich kann mich natürlich in der Wahrnehmung täuschen, aber mir erscheinen die Aufgaben im Vergleich zu den Vorjahren etwas leichter, z.B. ist die ansonsten meist schwerste Aufgabe 6 hier über vollständige Induktion lösbar, ohne große Haken schlagen zu müssen. Die Teilnehmer haben da natürlich nicht wirklich was davon, da die dann höheren Punktzahlen auch automatisch die Preisgrenzen anheben - mal abwarten, was die Auswertung ergibt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.07.2009, 16:44

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Hmm, ja, da hab ich mich in der Einschätzung von Aufgabe 6 wohl stark geirrt:

540 von 565 Teilnehmern konnten bei dieser Aufgabe keinerlei Punkte erzielen. geschockt

geschockt

Was das Gesamtergebnis betrifft, so hat sich Deutschland passabel geschlagen: Platz 9 ist immerhin das zweitbeste Resultat der letzten 15 Jahre, und wie so oft das beste in der EU (bestimmt ist das der Grund, warum wir die Türkei nicht aufnehmen Big Laugh

Big Laugh

).

25.07.2009, 20:32

smile.

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Kann mir vielleicht jemand erklären, was bei Aufgabe 3 mit Ss1 gemeint ist?mfg

25.07.2009, 20:46

IfindU

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$\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ ist eine Zahl, sagen wir hier 5, dann ist $\begin{eqnarray*} s_{s_1} = s_5 \end{eqnarray*}$ also die 5te Zahl der Folge.

25.07.2009, 20:54

smile.

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Ok, vielen dank für die schnelle Antwort.

02.08.2009, 15:38

riwe

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RE: IMO 2009 in Bremen, 2.Tag
zu aufgabe 4)
so ich sie richtig verstanden habe

mit $\begin{eqnarray*} tan\frac{\beta}{2}=x \end{eqnarray*}$ komme ich auf die hübsche gleichung

$\begin{eqnarray*} 3x^4+6x^3-4x^2-2x+1=0 \end{eqnarray*}$

im zulässigen intervall gibt es dann 2 lösungen:

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad{ }\wedge\quad{ }x_2=\sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$

was bedeutet: das dreieck ist entweder gleichseitig oder gleichschenkelig - rechtwinkelig, also ein halbes quadrat.

der gesuchte winkel beträgt somit im 1. fall 60°/300° bzw. im anderen 90°/270°.

wie man das allerdings allgemein rein geometrisch zeigen soll verwirrt

verwirrt

19.09.2009, 01:08

heinzelotto

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Aufgabe 1 haben laut Statistik die meisten geschafft, deshalb habe ich mich da mal rangewagt smile

smile

Leider besitze ich wenig Erfahrung mit solchen Aufgaben und habe mich deshalb erstmal völlig verrannt und versucht, eine Eigenschaft zu beweisen, die überhaupt nicht zwingend vorhanden sein muss (wie ein paar Beispielszahlen zeigten). In Zukunft werde ich _erst_ anhand des Experiments überprüfen, ob eine Eigenschaft überhaupt so häufig zutrifft, dass man vermuten kann, sie gälte immer smile

smile

Lange Rede, kurzer Sinn, hier mein Lösungsversuch:

Beweis durch Widerspruch:
Annahme: $\begin{eqnarray*} a_1a_k \equiv a_k \pmod n \end{eqnarray*}$

Dann würde mithilfe von $\begin{eqnarray*} a_ia_{i+1}\equiv a_i \pmod n \end{eqnarray*}$ (für in der Aufgabenstellung genannte i) folgen:

$\begin{eqnarray*} a_1\equiv a_1a_2 \equiv a_1a_2a_3 \equiv \cdots \equiv a_1a_2\cdots a_k \pmod n \end{eqnarray*}$

und noch zusätzlich mit $\begin{eqnarray*} a_1a_k \equiv a_k \pmod n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a_2 \equiv \cdots \equiv a_2\cdots a_k \equiv a_2\cdots a_k a_1\pmod n<br /> \Rightarrow a_1 \equiv a_2 \pmod n \end{eqnarray*}$
Da alle $\begin{eqnarray*} a_i \in \{1, ..., n\} \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} a_1 = a_2 \end{eqnarray*}$ , ein Widerspruch zur Voraussetzung der Verschiedenheit.

19.09.2009, 16:09

AD

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Schöne Lösung. Freude

Freude

1

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