ähnliche Matrix ermitteln |
| 16.07.2009, 00:43 | ScopeX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| ähnliche Matrix ermitteln eine MatheII Aufgabe für Ingenieure lautet: Bestimmen Sie die Orthogonalmatrix P, so dass P^-1*A*P eine Diagonalmatrix ist, wobei A= 2 2 0 2 0 -2 0 -2 2 Leider habe ich keine Ahnung, wie ich vorgehen soll. Vielen Dank und freundliche Grüße ScopeX |
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| 16.07.2009, 08:04 | steffi24 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also erstmal steckt dahinter eine Basistransformation, wobei P die Transformationsmatrix ist. Was ist hier zu tun: 1.] Du sollst die Eigenwerte von A bestimmen! (Die Eigenwerte der Matrix A sind die Einträge in der Hauptdiagonalen der Diagonalmatrix) 2.]Zu den Eigenwerten ermittelst du dann die zugehörigen Eigenvektoren (die Eigenvekoren müssen allerdings ein Orthonormalsystem bilden). 3.] Die Transformationsmatrix P ergibt sich dann, wenn du die Eigenvektoren in die Spalten schreibst. |
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| 16.07.2009, 10:57 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Interessant ist dann noch, warum hier die Transformationsmatrix orthogonal ist und was dass speziell für die Matrix bedeutet. |
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| 16.07.2009, 13:13 | ScopeX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke erstmal für die Hilfe. Die Eigenvektoren habe ich. Diese sind auch orthogonal und habe sie auf die länge 1 normiert. Schreibe ich diese jetzt einfach als Matrix und bin fertig, oder was ist noch interessant, tigerturbine? lG |
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| 16.07.2009, 13:16 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast meine Frage nicht beantwortet. 
Wie sieht denn die Inverse von P aus? Und warum gibt es überhaupt so ein P? Weil Steffi das gesagt hat ...
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| 16.07.2009, 14:12 | ScopeX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, also ich habe P mit -1 1 1 2 0 1 1 1 -1 (das sind die Eigenvektoren) per Gauß-Jordan-Verfahren komme ich auf die Inverse -1/6 2/6 1/6 1/2 0 1/2 1/3 1/3 -1/3 Warum es aber jetzt so ein P gibt weiß ich leider nicht.. aus der Formel P^-1*A*P kann ich leider nicht so viel raus lesen.. P^-1 * P ist ja E aber mehr weiß ich nicht. Du darfst mich gerne aufklären :-) Danke |
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| 16.07.2009, 14:26 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dass es so ein P gibt, liegt daran, dass es für symmetrische Matrizen eine Basis aus Eigenvektoren gibt. Und da diese so gewählt werden können, dass sie paarweise orthogonal zueinander stehen und Norm 1 haben, ist P orthogonal. Das ist der Spektralsatz für symmetrische Matrizen. Und die vorliegende Matrix ist symmetrisch! |
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| 16.07.2009, 18:28 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1. Deine EVs sind nicht normiert. Wie sieht also P aus? 2. "per Gauß-Jordan-Verfahren komme ich auf die Inverse" ... Warum machst du dir das Leben so schwer....? Wo P doch orthogonal ist... 
Generelle Nachfrage: Was wäre denn, wenn das A nicht symmetrisch gewesen wäre... Ist dann die Chance auf "Ähnlich zu einer Diagonalmatrix" vertan oder gibt es noch Hoffnung auf Diagonalisierbarkeit? |
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| 16.07.2009, 18:53 | steffi24 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst die Eigenvektoren richtig normieren und in die Spalten schreiben und nicht in die Zeilen. Dann sieht P nämlich so aus - 1/sqrt 6 1/sqrt 2 -1/sqrt 3 2/sqrt 6 0 -1/sqrt 3 1/sqrt 6 1/sqrt 2 1/ sqrt 3 (sqrt = Wurzel) tigerbine: *** Da soll er seber drauf kommen |
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| 16.07.2009, 18:57 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Steffi, auf das *** sollte er doch selber kommen.... |
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| 16.07.2009, 18:58 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@steffi: Keine Musterlösungen bitte. Außerdem ist es nicht gut, wenn du die Fragen, die tigerbine dem Threadersteller stellt, selber beantwortest. Bitte editiere deinen Beitrag. EDIT: Und verwende bitte den Formeleditor. |
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| 16.07.2009, 19:33 | steffi24 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, kommt nie nicht wieder vor!!! |
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| 16.07.2009, 23:24 | ScopeX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
erstmal Danke ich euch für eure Hilfe! Die EVs habe ich normiert hier stehen ja, fande das mit den Wurzeln ein wenig unschön um es hier zu posten
.Allerdings frage ich mich, wie ich die Inverse berechne wenn ich weiß, dass es eine orthogonale Matrix ist. Tigerbine: Ich denke, dass das ganze nur mit Hermiteschen oder symmetrischen Matritzen möglich ist. Sorry, wenn ich mich etwas blöd anstelle :-) |
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| 16.07.2009, 23:29 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was heißt blöd... anscheinend hast du die Zeit nicht genutzt, um ein LinA Buch in die hand zu nehmen, die Boardsuche zu benutzen oder zu googlen. Ich hatte ja extra bestimmte namen verwendet... |
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| 16.07.2009, 23:31 | ScopeX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nachtrag: ah, wenn ich das richtig sehe, ist die Inverse Matrix einfach die Transponierte?!? |
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| 16.07.2009, 23:32 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bingo. |
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| 16.07.2009, 23:36 | ScopeX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
:-) Okay.. Für Diagonalisierbarkeit müssen EW und EV gleich sein. Aber wie soll ich denn irgendeine Matrix mit gleichen EW und EVs finden? 
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| 16.07.2009, 23:37 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wo hast du denn das her... Das eine sind Elemente aus dem Skalarkörper, das andere Vektoren. Die werden wohl i.a. nicht gleich sein. 
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| 16.07.2009, 23:40 | ScopeX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ah sorry, meinte für eine ähnliche Matrix.. aber ich weiß grad nicht mehr weiter.. aus meinem skript werde ich einfach nicht schlau |
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| 16.07.2009, 23:43 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da ist das doch genauso "unsinnig". Eigenwerte und Eigenvektoren sind doch unterschiedliche Dinge. |
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| 16.07.2009, 23:48 | ScopeX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich glaube ich hab mich nur etwas unsauber ausgedrückt. Ähnliche Matrizen haben das selbe charakteristische Polynom und somit die selben Eigenwerte. |
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| 16.07.2009, 23:48 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jo. nur war das hier nie meine Frage gewesen...
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| 16.07.2009, 23:54 | ScopeX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na gut, noch ein Versuch: eine Matrix ist Diagonalisierbar, wenn sie n unabhängige EVs hat (n x n Matrix). Eine Symmetrische Matrix hat dies. :-) |
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| 17.07.2009, 00:05 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mein Gott, was für eine Raterunde... Immerhin warst du nun auf wikipedia. Ich bevorzuge die Variante des Satzes mit dem Zerfall des char. Polynoms in Linearfaktoren und der Übereinstimmung von geom. und alg. Vielfachheit. |
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