Lösungen komplexe Gleichung

17.07.2009, 02:01	PommesBär	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungen komplexe Gleichung Hallo, ich brauche alle Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} z^{5} = i, z \in C \end{eqnarray}$ Ich weiß, dass z = x + yi, das bedeutet für die Gleichung $\begin{eqnarray} (x + yi)^{5} = i \end{eqnarray}$ Durch das Pascalsche Dreieck kam ich dann zu $\begin{eqnarray} i = x^{5} + 5x^{4}yi + 10x^{3}y^{2}i^{2} + 10x^{2}y^{3}i^{3} + 5xy^{4}i^{4} + y^{5}i^{5} \end{eqnarray}$ da bei den komplexen Zahlen gilt $\begin{eqnarray} i^{2} = - 1 \end{eqnarray}$ folgt doch daraus, das $\begin{eqnarray} i = x^{5} + 5x^{4}yi - 10x^{3}y^{2} - 10x^{2}y^{3}i + 5xy^{4} + y^{5}i \end{eqnarray}$ Aber wenn ich das nun in den Realteil und den Imaginärteil aufteile Realteil: $\begin{eqnarray} x^{5} - 10x^{3}y^{2} + 5xy^{4} \end{eqnarray}$ Imaginärteil: $\begin{eqnarray} 5x^{4}yi - 10x^{2}y^{2}i + y^{5}i = i \end{eqnarray}$ komme ich auf ziemlich merkwürdige x und y Werte. Daher meine Frage, ob und wenn ja wo ich Fehler gemacht habe.
17.07.2009, 02:04	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungen komplexe Gleichung Würde meinen, dass das in Polarkoordinaten doch viel entspannter geht. Da kann man die erste Lösung schon direkt ablesen. $\begin{eqnarray} z_1 = \sqrt[5]{1} \cdot \exp(i \cdot \frac{2\pi}{4} \cdot \frac{1}{5}) \end{eqnarray}$
17.07.2009, 02:07	PommesBär	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungen komplexe Gleichung Polarkoordination? Das höre ich gerade zum aller ersten mal. Tut mir leid, im Bereich komplexe Zahlen kenn ich mich nicht so gut aus.
17.07.2009, 02:11	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungen komplexe Gleichung Dann solltest du dich mit denen erstmal beschäftigen. Da multipliziert es sich viel entspannter mit. Boardsuche zu dem Thema kann auch helfen. Umrechnung nette Seite zu komplexen Zahlen
17.07.2009, 02:31	PommesBär	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich habe versucht mir einen Überblick zu machen, aber das wirkt gerade alles sehr kompliziert auf mich. Das $\begin{eqnarray} e^{i\phi}= cos\phi+isin\phi \end{eqnarray}$ gilt ist soweit klar. Aber ich hab keine Ahnung was ich jetzt damit anfangen soll
17.07.2009, 02:35	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Link2 eben. Polarkoordinaten sind durch Radius und Winkel gekennzeichnet. Multipliziert man dann 2 komplexe Zahlen, so multiplizieren sich die Radien und die Winkel addieren sich.
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17.07.2009, 02:44	PommesBär	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja soweit ist mir das schon klar, ich hab dann $\begin{eqnarray} i = r^{5}(cos5\phi + i sin5\phi) \end{eqnarray}$
17.07.2009, 02:47	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum steht das Phi im Nenner? ok, editiert. Wo ist nun die Frage?
17.07.2009, 02:52	PommesBär	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja bei der kartesischen Darstellung wusste ich, dass ich die Gleichung nach x umstellen muss und das x dann in y einsetzen um die Lösungen heraus zu bekommen. Aber ich weiß nicht, was ich jetzt mit dieser Darstellung anfangen soll
17.07.2009, 02:58	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt 5 Lösungen. Deren Radien bekommst du durch 5te Wurzel. Nun 5 Winkel, die "mal 5" und "um 2pi Periode" bereinigt 90° ergeben. Fertig.

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