Folgenraum l^p für p <1

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17.07.2009, 12:17	Folgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgenraum l^p für p <1 Kann mir jemand sagen wie die Folgenräume $\begin{eqnarray} l^p \end{eqnarray}$ für 0 < p< 1 angeordnet sind bzw ob man überhaupt eine Aussage machen kann? mit anordnung meine ich die inklusion, also $\begin{eqnarray} l^p \subseteq l^q \end{eqnarray}$ für q \leq p < 1 super wäre ein link oder ein buchtipp wo speziell dieser fall behandelt wird!
17.07.2009, 16:06	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Für alle $\begin{eqnarray} 0<p\leq q \end{eqnarray}$ gilt stets: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}~\|a_k\|^p<\infty\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}~\|a_k\|^q<\infty \end{eqnarray}$ . Der Beweis ist der gleiche wie für den Spezialfall $\begin{eqnarray} 1\leq p\leq q \end{eqnarray}$
21.07.2009, 12:31	Folgi	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, das konnte ich nachvollziehen. wie sieht denn mit dualräumen für p<1 aus?
21.07.2009, 19:07	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau meinst du?
21.07.2009, 21:20	Folgi	Auf diesen Beitrag antworten »
naja zum beispiel gilt ja für $\begin{eqnarray} p \geq 1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{p}+ \frac{1}{q} =1 \end{eqnarray}$ , das $\begin{eqnarray} \left( l^q \right)' = l^p \end{eqnarray}$ ist. kann man aussagen in dieser richtung auch bezüglich p<1 machen? ich suche momentan eine quelle die sich mit den folgenräumen $\begin{eqnarray} l^p \end{eqnarray}$ für p< 1 beschäftigt. leider finde ich da kaum was!
21.07.2009, 22:04	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die analog zu $\begin{eqnarray} p\ge 1 \end{eqnarray}$ definierte Norm denn auch eine?
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21.07.2009, 22:21	Folgi	Auf diesen Beitrag antworten »
nee, dann bildet der raum "nur" einen vollständigen metrischen Raum
21.07.2009, 22:37	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist also die Topologie auf deinen l^p's?
22.07.2009, 00:11	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@Webfritzi Ich nehme mal stark an, dass die von der Metrik induzierte Topologie gemeint ist.
22.07.2009, 00:47	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben hier einen Vektorraum. Den möchten wir gerne zu einem topologischen Vektorraum, und am besten noch zu einem lokalkonvexen Raum machen.
22.07.2009, 11:37	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, sorry. Dann würde ich, wenn man Wikipedia vertrauen darf, einfach mal mit $\begin{eqnarray} \left(\ell^p\right)^=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0<p<1 \end{eqnarray*}$ antworten.
22.07.2009, 14:56	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das glaube ich kaum, denn nach dem Satz von Hahn-Banach gibt es auf einem lokalkonvexen Raum "genügend" stetige Funktionale. Frage ist bloß, was hier die lokalkonvexe Topologie sein soll. Ich könnte jetzt in meinen Unterlagen nachstöbern - hab dazu aber gerade wenig Lust. EDIT: Nein, ich habe mich geirrt. Du hast recht. Mit der Metrik $\begin{eqnarray} d((x_n),(y_n)) := \sum_{n=1}^\infty\,\|x_n - y_n\|^p \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \ell^p \end{eqnarray}$ ein topologischer Vektorraum, auf dem aber keine stetigen Funktionale existieren. Wie bist du darauf gekommen? Eine Frage bleibt: Kann man den Raum mit einer anderen Topologie zu einem lokalkonvexen Raum machen?
22.07.2009, 16:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mich einfach bei Wikipedia verlesen und nicht genau darauf geachtet, dass dort $\begin{eqnarray} L^p([0,1]) \end{eqnarray}$ steht und das nicht auch für $\begin{eqnarray} L^p(\mathbb N) \end{eqnarray}$ gemeint war. Aber wenn du die Aussage trotzdem bestätigst, dann war das ja nicht so schlimm.
22.07.2009, 17:04	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das auch nur für den großen L^p gelesen. Aber was für die großen gilt, gilt ja zumeist auch für die kleinen. Ist wie bei Erwachsenen und Kindern.
22.07.2009, 18:59	Folgi	Auf diesen Beitrag antworten »
ui...da hab ich ja was ausgelöst... hat denn jemand ne idee wo ich ausführlich informationen für diesen spezialfall finde?
23.07.2009, 09:37	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Also entschuldigt, dass ich mich einmische. Aber hab eben hier reingelesen und mich wundert doch gerade sehr die Identität $\begin{eqnarray} (l^p)'=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0<p<1 \end{eqnarray}$ Könnte einer von euch, WebFritzi oder MSS, mal erklären, warum das gilt? Oder einen Link zu besagtem Wiki-Artikel geben? Ich sehe es nämlich absolut nicht, finde diese Tatsache aber doch interessant. Ich sehe auch absolut nicht, warum so simple Abbildungen wie zB. $\begin{eqnarray} f( (a_n)_n ) = a_1 \end{eqnarray}$ nicht stetig sein sollten unter dieser besonderen Metrik Wo ist denn hier der Clou?
23.07.2009, 14:07	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, ich habe mich verlesen. Das war auch keine begründete Überlegung meinerseits. Ich ziehe die Aussage also, wie gesagt, zurück. Vielleicht kann Webfritzi sie ja begründen.
23.07.2009, 14:18	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. Sorry. Das von dir angegebenen Funktional ist stetig. Das führe ich darauf zurück, dass es ein analoges Funktional in L^p wegen der Äquivalenzklassen nicht gibt. Kompliziertere lineare Funktionale dürften aber auch in l^p nicht stetig sein.

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