Frage zur Fouriertransformierten

17.07.2009, 13:49

Neuer

Frage zur Fouriertransformierten

Hallo!

Wir haben in der letzten Vorlesungswoche noch kurz etwas zur Fouriertransformation gemacht, die hatten wir definiert als

$\begin{eqnarray*} \hat{f}(k):= \frac{1}{2\pi} \int f(t)e^{-ikt}dt \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich in einer Hausaufgabe folgendes verwendet:

$\begin{eqnarray*} \hat{f}(k)\hat{g}(k) = \hat{fg}(k) \end{eqnarray*}$ , gemäß der Linearität

wikipedia.org/wiki/Fourier-Transformation#Rechenregeln
(Ich darf leider keine URLs posten als nichtregistrierter Nutzer...)

Da steht ja $\begin{eqnarray*} \mathcal F(f+\alpha g)=\mathcal F(f)+\alpha\mathcal F(g) \end{eqnarray*}$ ,

Jetzt hatte ich das so interpretiert, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}(f) = \hat{f} \end{eqnarray*}$ aus der Vorlesung ist.

Lange Rede kurzer Sinn, in der Hausaufgabe hat der Tutor geschrieben, das wäre falsch, weil

$\begin{eqnarray*} \widehat{fg}(k) = f*g \end{eqnarray*}$ (Faltung)

Hat mein Tutor da Recht?

Ich würde jetzt gerade sagen, dass er Recht hat, weil

$\begin{eqnarray*} \widehat{fg}(k):= \frac{1}{2\pi} \int f(t)g(t)e^{-ikt}dt\not= \frac{1}{2\pi}\int \left(f(t)+g(t)\right)e^{-ikt}dt = \hat{f}(k)\hat{g}(k) \end{eqnarray*}$

Könnt ihr meinen Fehler bestätigen? Hammer

Danke im Voraus!

17.07.2009, 14:57

Sly

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Frage zur Fouriertransformierten

Zitat:

Jetzt habe ich in einer Hausaufgabe folgendes verwendet:

$\begin{eqnarray*} \hat{f}(k)\hat{g}(k) = \hat{fg}(k) \end{eqnarray*}$ , gemäß der Linearität

Warum sollte das bitte aus der Linearität folgen?

Zitat:

Da steht ja $\begin{eqnarray*} \mathcal F(f+\alpha g)=\mathcal F(f)+\alpha\mathcal F(g) \end{eqnarray*}$

Das ist richtig

Zitat:

Lange Rede kurzer Sinn, in der Hausaufgabe hat der Tutor geschrieben, das wäre falsch

Hat er mit Sicherheit nicht. Wohl eher, dass deine erste Formel, die du verwendet hast, falsch ist.

Zitat:

, weil

$\begin{eqnarray*} \widehat{fg}(k) = f*g \end{eqnarray*}$ (Faltung)

Hat mein Tutor da Recht?

Du hast rechts wohl noch die Hüte vergessen, oder?

Da bin ich mir nicht sicher. Wie man diesem Artikel entnehmen kann, gilt eine ähnliche (aber nicht gleiche) Identität für die Fouriertransformation, die vorne als Normierungsfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \end{eqnarray*}$ hat (siehe erste Tabelle unten, letzter Eintrag)
Bei eurem Normierungsfaktor müsste also meiner Meinung nach noch etwas dazukommen, nämlich

$\begin{eqnarray*} \widehat{fg}(k) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \hat{f}*\hat{g} \end{eqnarray*}$

(Korrigiere man mich bitte, falls ich falsch liege)

Zitat:

Ich würde jetzt gerade sagen, dass er Recht hat, weil

$\begin{eqnarray*} \widehat{fg}(k):= \frac{1}{2\pi} \int f(t)g(t)e^{-ikt}dt\not= \frac{1}{2\pi}\int \left(f(t)+g(t)\right)e^{-ikt}dt = \hat{f}(k)\hat{g}(k) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du bitte auf das letzte Gleichheitszeichen?!

17.07.2009, 23:00

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

@Neuer: Wo ein "Plus" steht, steht auch ein solches - und kein "Mal".

Neue Frage »

Antworten »

Frage zur Fouriertransformierten

Verwandte Themen