Simultan diagonalisieren

17.07.2009, 16:27	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Simultan diagonalisieren $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} -5 & 1 & 6 & 6 \\ -12 & 2 & 12 & 12 \\ 1 & 1 & 0 & -2 \\ -4 & 0 & 4 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & -4 \\ -3 & 1 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sollen simultan diagonalsiert werden. Ich habe also die Eigenwerte von B berechnet sowie die dazugehörigen Eigenräume. Danach habe ich eine Basis aus Eigenvektoren gewählt und die Inverse einer Transformationsmatrix S mit den Basisvektoren als Spalten gebildet. Schließlich habe ich noch S selbst berechnet. Nun gilt zwar $\begin{eqnarray} SBS^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber es ist $\begin{eqnarray} SAS^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Habt ihr eine Ahnung, was da schiefgelaufen ist ? lg
17.07.2009, 17:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst natürlich nicht einfach irgendeine Basis aus Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ wählen, sondern musst eine Basis wählen, deren Vektoren gleichzeitig Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ sind. Notwendig und hinreichend für die Existenz einer solchen Basis ist die Diagonalisierbarkeit beider Matrizen und $\begin{eqnarray} AB=BA \end{eqnarray}$ . Ein mögliches Verfahren ist nun z.B. so: Berechne die Eigenräume $\begin{eqnarray} E_k \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} AB=BA \end{eqnarray}$ sind diese Eigenräume nicht nur $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ - sondern auch $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ -invariant. $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ induziert also Endomorphismen $\begin{eqnarray} A\|_{E_k}:E_k\to E_k \end{eqnarray}$ . Diese musst du nun diagonalisieren, d.h. Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ in diesen Unterräumen finden. Alle gefundenen Eigenvektoren zusammen bilden eine simultane Basis aus Eigenvektoren für $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ .
17.07.2009, 20:57	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah Dann ist es doch sicher die schnellste Methode die Eigenräume beider Matrizen zu berechnen und sich die Durchschnitte anzusehen
17.07.2009, 21:57	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sehe ich anders. Das bringt dich zwar ans Ziel, ist aber frickelig und doch sehr aufwendig. Mach es so, wie MSS es geschrieben hat. Berechne zuerst die Eigenräume von B und diagonalisiere dann A auf den mehrdimensionalen Eigenräumen von B.
18.07.2009, 12:36	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie soll ich auf den Unterräumen diagonalisieren? Wo liegt der Unterschied? Zuerst muss ich ja trotzdem das char. Polynom ganz normal berechnen. Und dann? Muss ich ja immer noch die Eigenräume berechnen, nur das nicht alle Vektoren in Frage kommen Zum Beispiel stelle ich fest, dass -2 ein Eigenwert von A ist. Nun muss ich also den Kern von $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} -3& 1 & 6 & 6 \\ -12 & 4 & 12 & 12 \\ 1 & 1 & 2 & -2 \\ -4 & 0 & 4 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ über einem Eigenraum berechnen. Wie genau soll das jetzt funktionieren ? lg
18.07.2009, 13:23	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss natürlich neue Darstellungsmatrizen berechnen: $\begin{eqnarray} Eig(B;1):= E_1 = < \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ > $\begin{eqnarray} A\|_{E_1}:E_1\to E_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_{E_1}(A\|_{E_1}) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Man erhält also die Eigenwerte 1 und 2. Nun muss ich aber die Eigenräume berechnen: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} -7 & 1 & 6 & 6 \\ -12 & 0 & 12 & 12 \\ 1 & 1 & -2 & -2 \\ -4 & 0 & 4 & 4 \end{pmatrix} \cdot x = 0 \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} x \in E_1 \end{eqnarray}$ kann ich im Prinzip ja die 3. zur 1. Spalte dazuzählen und anschließend 3. und 4. Spalte weglassen. Ist (x,y) ein Lösungsvektor so ist (x,y,x,0) der gesuchte Eigenvektor ... Macht man das circa so ? lg
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