Masse eines Körpers bestimmen

17.07.2009, 20:47	steffi24	Auf diesen Beitrag antworten »
Masse eines Körpers bestimmen Hi Leute ich hab ein Problem, ich soll die Masse von folgendem Körper bestimmen: K={(x,y,z)\in R³: x+y+z<=1,x,y,z >=0} und habe noch die Massedichte gegeben: r(x,y,z)=(1+x+y+z)-3 Ich würde beim Lösen so vorgehen, dass ich zuerste das Dreifachintegral löse (da ich nicht fähig bin den Editor zu nutzen probier ich es so: / ... ist bei mir das Intergralzeichen) / (/ ( / r(x,y,z) dx) dy) dz Aber über welche Grenzen muss ich integrieren? Dankeschön schonmal
17.07.2009, 20:57	Gastx	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Masse eines Körpers bestimmen bei der Aufgabe kann ich leider nicht helfen, aber hier mal mit Formel-Editor: $\begin{eqnarray} \int_{?}^{?}~( \int_{?}^{?}~(\int_{?}^{?}~r(x,y,z)~dx)~dy)~dz \end{eqnarray}$
17.07.2009, 22:15	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ungleichungen $\begin{eqnarray} x,y,z \geq 0 \end{eqnarray}$ beschreiben den I. Oktanten des Koordinatensystems. Aus der Schule weißt du, daß $\begin{eqnarray} x+y+z = 1 \end{eqnarray}$ eine Ebene darstellt. Dann ist $\begin{eqnarray} x+y+z \leq 1 \end{eqnarray}$ ein durch diese Ebene bestimmter abgeschlossener Halbraum. Da der Ursprung $\begin{eqnarray} (x,y,z) = (0,0,0) \end{eqnarray}$ die Ungleichung erfüllt, ist es derjenige Halbraum, der den Ursprung enthält. Damit ist $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Tetraeder, dessen 4 Ecken auf den Koordinatenachsen liegen. Skizziere dieses Tetraeder, um dir eine Vorstellung von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ zu verschaffen. Deine weiteren Angaben scheinen mir nicht zu stimmen. So würde man doch sicher $\begin{eqnarray} \rho(x,y,z) = (1 + x + y + z) - 3 \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \rho(x,y,z) = x + y + z - 2 \end{eqnarray}$ vereinfachen. Und diese Dichte hätte dann auch nur negative Werte. Merkwürdig ... Ist vielleicht $\begin{eqnarray} \rho(x,y,z) = (1 + x + y + z)^{-3} \end{eqnarray}$ gemeint?
17.07.2009, 22:34	steffi24	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Skizze hab ich mir schon gemacht und das Volumen bestimmt. Und du hast vollkommen recht es heißt hoch minus 3 (Sag ja bin nicht fähig den Editor zu nutzen) Wenn ich nach z integriere, also das äußerste Integral, sind die Grenzen von 0 bis 1 oder? Wenn ich nach x integriere, also das innerste Integral, sind die Grenzen von 1-y-z bis 1 oder? Und wie sind die Grenzen des mittelsten Integrals?
18.07.2009, 09:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Gehe von außen nach innen (das Umgekehrte geht nicht). $\begin{eqnarray} z \in [0,1] \end{eqnarray}$ ist korrekt. Jetzt denke dir ein solches $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ fest gewählt. Für welche $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ sind nun die Ungleichungen $\begin{eqnarray} \text{(1)} \ \ x \geq 0 \, , \ \ \ \text{(2)} \ \ \ y \geq 0 \, , \ \ \ \text{(3)} \ \ x + y \leq 1 - z \end{eqnarray}$ erfüllbar? $\begin{eqnarray} \text{(1)} \end{eqnarray}$ ist für alle $\begin{eqnarray} y \in (-\infty,\infty) \end{eqnarray}$ erfüllbar ( $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ kommt da ja gar nicht vor), $\begin{eqnarray} \text{(2)} \end{eqnarray}$ nur für $\begin{eqnarray} y \geq 0 \end{eqnarray}$ . Die Schnittmenge der beiden Intervalle ist $\begin{eqnarray} [0,\infty) \end{eqnarray}$ . Jetzt bleibt noch $\begin{eqnarray} \text{(3)} \end{eqnarray}$ . Nach dem Bisherigen brauchen wir nur noch $\begin{eqnarray} y \geq 0 \end{eqnarray}$ zu betrachten. Nehmen wir als Beispiel $\begin{eqnarray} z = 0{,}1 \end{eqnarray}$ . Dann lautet die Ungleichung $\begin{eqnarray} x + y \leq 0{,}9 \end{eqnarray}$ . Wäre jetzt etwa $\begin{eqnarray} y = 0{,}3 \end{eqnarray}$ , so würde die Ungleichung von allen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0 \leq x \leq 0{,}6 \end{eqnarray}$ (die untere Grenze kommt von $\begin{eqnarray} \text{(1)} \end{eqnarray}$ ) erfüllt. Wäre dagegen $\begin{eqnarray} y = 1{,}4 \end{eqnarray}$ , so wäre die Ungleichung $\begin{eqnarray} x \leq -0{,}5 \end{eqnarray}$ für kein $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ erfüllbar. Daher ist $\begin{eqnarray} y = 0{,}3 \end{eqnarray}$ ein erlaubter, dagegen $\begin{eqnarray} y = 1{,}4 \end{eqnarray}$ ein unerlaubter $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Wert beim vorgegebenen $\begin{eqnarray} z = 0{,}1 \end{eqnarray}$ . Bestimme nun das Intervall der erlaubten $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Werte. Und diese Überlegung mußt du statt für ein konkretes $\begin{eqnarray} z \in [0,1] \end{eqnarray}$ für ein beliebiges, aber fest gedachtes $\begin{eqnarray} z \in [0,1] \end{eqnarray}$ durchführen. So bekommst du in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ das gesuchte $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Intervall. Anschaulich: Mache einen Schnitt durch das Tetraeder bei $\begin{eqnarray} z = 0{,}1 \end{eqnarray}$ (oder gleich bei einem beliebigen, aber fest gedachten $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ) und projiziere das Schnittdreieck in die $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ -Ebene. Du erkennst dann, für welche $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Werte Punkte des Dreiecks existieren und für welche nicht. Und dann erst die Grenzen für das Integral ganz innen bestimmen. Da ergibt sich dann auch etwas anderes als von dir vorgeschlagen.
19.07.2009, 17:14	steffi24	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, sind die Grenzen jetzt so richtig? 0 <= z <= 1 0<=y<=1-x 0<=x<=1-z-y
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