Problem mit bestimmtem Integral

18.07.2009, 02:21

blackdrake

Problem mit bestimmtem Integral

Hallo.

Ich habe habe ein Problem mit einem bestimmten Integral.

M(x) = Integral[-d..d] |Wurzel(d^2 - x^2)| dx

M(x) = Integral[-d..d] |(d^2 - x^2)^(1/2)| dx

Ich habe jetzt folgendes Probiert:

Zu intergrierende Funktion:

a(x) = (d^2 - x^2)^(1/2)

(Hoffentlich ist es OK, dass ich die Betragsstriche weglasse, da die Wurzel negativ und positiv interpretiert werden kann.)

Stammfunktion:

A(x) = (1/2)(d^2 - x^2)^(1/2-1) + c
A(x) = 0.5 * (d^2 - x^2)^(-0.5) + c
mit c € IR.

Damit ergibt sich:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:

M(x) = A(-d)                           - A(d)

M(x) = 0.5 * (d^2 - {-d}^2)^(-0.5) + c - 0.5 * (d^2 - {d}^2)^(-0.5) + c

M(x) = 0.5 * (d^2 -   d ^2)^(-0.5) + c - 0.5 * (d^2 -  d ^2)^(-0.5) + c

M(x) = 0.5 * (d^2 -   d ^2)^(-0.5)     - 0.5 * (d^2 -  d ^2)^(-0.5)

M(x) = 0.5 *              0^(-0.5)     - 0.5 *             0^(-0.5)

M(x) = 0.5 *              0^(-0.5)     - 0.5 *             0^(-0.5)

M(x) = 0 bzw. Math-Error

0^(-0.5) ist jedoch ein fehlerhafter Ausdruck. Und auch sonst würde M(x) = 0 rauskommen, was nicht stimmen kann.

Was habe ich falsch gemacht?

Gruß
blackdrake

18.07.2009, 08:49

Cordovan

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Leite mal deine "Stammfunktion" ab!

Cordovan

18.07.2009, 09:35

Leopold

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$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{d^2 - x^2} \end{eqnarray*}$ besitzt als Graphen den oberen Halbkreis um $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ vom Radius $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ . Als Integralwert über $\begin{eqnarray*} [-d,d] \end{eqnarray*}$ muß sich daher $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \pi d^2 \end{eqnarray*}$ ergeben.

18.07.2009, 17:22

blackdrake

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Hallo

@Leopold: Ja, mir ist bekannt, dass es die Kreisfunktion ist. Ich würde gerne das Integral einfach mal so bestimmen, ohne es als Kreis zu interpretieren.

@Cordovan: Mh... irgendwie stehe ich mit dem Integrieren ein bisschen neben der Spur.

In meiner Fassung hatte ich eine Substitution gemacht, denn die Integration von q^p ist ja pq^(p-1). (So haben wir es zumindestens bei konkreten Werten in der Oberstufe immer gemacht)

Mein q wäre also := (d^2 - x^2)
und mein p wäre also := (1/2)

Hab ich da irgendwie einen Gedankenfehler drin?

Gruß
blackdrake

18.07.2009, 18:07

Leopold

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Zitat:

Original von blackdrake
@Leopold: Ja, mir ist bekannt, dass es die Kreisfunktion ist. Ich würde gerne das Integral einfach mal so bestimmen, ohne es als Kreis zu interpretieren.

Das geht leider nicht. Jede formale Integrationslösung läuft an irgendeiner Stelle auf die Umkehrungen der trigonometrischen Funktionen hinaus. Diese werden jedoch im elementaren Bereich (Schule) eingeführt, nachdem Kreis und vor allem Kreiszahl bereits bekannt sind, und auf diese Objekte zurückgeführt. Eine solche formale Integrationslösung ist daher keine echte Lösung. Man dreht sich nur - schönes Wortspiel! - im Kreise ...

siehe auch hier

19.07.2009, 19:03

blackdrake

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Hallo.

Vielen Dank für die Antwort. Ja, das leuchtet ein.

Kann ich trotzdem Mal aus interesse den allgemeinen Lösungsweg der Integration von dem Betrag einer Wurzel sehen? Mich würde interessieren, wo dieses arcsin() herkommt. Das am Ende die Flächenformel für einen Kreis rauskommt, ist ja nicht vom Himmel gefallen, sondern müsste durch die Integration auch herzuleiten sein.

Daher habe ich 3 Fragen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt[]{r^{2} - x^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Der Definitionsbereich von f(x) liegt also bei $\begin{eqnarray*} -r \leq x \leq r \end{eqnarray*}$ , da sonst der Radikant negativ wird.

(1) Ist das daher richtig?
$\begin{eqnarray*} \int_{-r}^{r}~|f(x)|~dx = \int_{-\infty}^{\infty}~|f(x)|~dx = \int_{}^{}~|f(x)|~dx \end{eqnarray*}$

Wenn ja:

Ich habe mir noch bezüglich der Betragsstriche überlegt, dass ich sie nach außen packen kann. Es spielt nämlich keine Rolle, ob die Wurzel positiv oder negativ interpretiert wird. (= Oberer oder Unterer Halbkreis). Das Integral würde positiv oder negativwerden, daher kann der Betrag um das Integral gelegt werden.

(2) Ist das also richtig?
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~|f(x)|~dx = |\int_{}^{}~f(x)~dx| \end{eqnarray*}$

Wenn ja: In deinem Post schriebst du das Beispiel für den Einheitskreis mit $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt[]{1 - x^{2}}~dx = \frac{1}{2} arcsin ... \end{eqnarray*}$

(3) Wie würde die Lösung bzw. der Lösungsweg für jedes beliebige r lauten?
$\begin{eqnarray*} M(x) = |\int_{}^{}~\sqrt[]{r^{2} - x^{2}}~dx| \end{eqnarray*}$

Danke.

Gruß
blackdrake

19.07.2009, 23:14

outSchool

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Zitat:

Original von blackdrake
...
Daher habe ich 3 Fragen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt[]{r^{2} - x^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Der Definitionsbereich von f(x) liegt also bei $\begin{eqnarray*} -r \leq x \leq r \end{eqnarray*}$ , da sonst der Radikant negativ wird.

(1) Ist das daher richtig?
$\begin{eqnarray*} \int_{-r}^{r}~|f(x)|~dx = \int_{-\infty}^{\infty}~|f(x)|~dx = \int_{}^{}~|f(x)|~dx \end{eqnarray*}$
...

Frage: Wenn du den Definitionsbereich von f(x) mit $\begin{eqnarray*} -r \leq x \leq r \end{eqnarray*}$ festlegst, macht es dann Sinn f(x) von $\begin{eqnarray*} {-\infty} \leq x \leq{\infty} \end{eqnarray*}$ zu integrieren?

Zitat:

Original von blackdrake
(2) Ist das also richtig?
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~|f(x)|~dx = |\int_{}^{}~f(x)~dx| \end{eqnarray*}$
...
[/latex]

Gibt es einen Betrag eines unbestimmten Integrals?
Wenn du dann Integrationsgrenzen einsetzt, gibt es genügend Beispiele, die deine Annahme widerlegen.

Zitat:

Original von blackdrake
(3) Wie würde die Lösung bzw. der Lösungsweg für jedes beliebige r lauten?
$\begin{eqnarray*} M(x) = |\int_{}^{}~\sqrt[]{r^{2} - x^{2}}~dx| \end{eqnarray*}$
...

$\begin{eqnarray*} F = \int \limits_{-r}^{r}~\sqrt{r^{2} - x^{2}}~dx = \int \limits_{-r}^{r}~r\cdot\sqrt{1 - \left(\frac{x}{r}\right)^{2}}~dx \end{eqnarray*}$

Substitution

$\begin{eqnarray*} x = r\cdot \sin(u) \Rightarrow dx = r\cdot \cos(u)du \end{eqnarray*}$

gibt

$\begin{eqnarray*} F = \int \limits_{u(-r)}^{u(r)}~r^{2}\cdot \cos^2(x)~dx = \frac{r^2}{2} \cdot \left[u + \sin(u)\cdot \cos(u)\right]_{u(-r)}^{u(r)} \end{eqnarray*}$

Die Rücksubstitution oder Einsetzen von u(r) bzw. u(-r) überlasse ich dir.

20.07.2009, 01:49

blackdrake

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Hallo.

Zitat:

Ehrlichgesagt bin ich mir nicht ganz sicher, ob es fatal ist, wenn man die undefinierten Bereiche mitintegriert. Die Gleichung wird auf jeden Fall einfacher, wenn ich die Grenzen weglasse und nur noch das Integral dastehen habe. Leopold hat in seinem verlinkten Post ja auch das Integral einer Kreisfunktion ohne die Grenzen geschrieben.

Ist das jetzt also das Gleiche oder nicht?

Zitat:

Gibt es einen Betrag eines unbestimmten Integrals?

In diesem Fall soll es ja der Halbkreis sein. Da das Integral auch negativ sein kann, bleibt das Integral positiv (= Fläche).

Zitat:

Wenn du dann Integrationsgrenzen einsetzt, gibt es genügend Beispiele, die deine Annahme widerlegen.

Ich hätte dazusagen sollen, dass ich natürlich von meinem f(x) aus, also f(x) = sqrt(r^2 - x^2) ausgehe. Ich wollte keine allgemeine Regel aufstellen, sondern habe mir gedanken dazu gemacht, wie es mit der unterschiedlichen Interpretation der Wurzel (+/-) aussehen würde.

Also, gilt für meine Kreisfunktion die oben genannte Gleichung?

Meine Frage (2) ist also, ob diese Gleichung korrekt ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~|\sqrt[]{r^{2} - x^{2}}|~dx = |\int_{}^{}~\sqrt[]{r^{2} - x^{2}}~dx| \end{eqnarray*}$

Zitat:

Die Rücksubstitution oder Einsetzen von u(r) bzw. u(-r) überlasse ich dir.

Dankefür die Herleitung. Ich schaue mir mal den Lösungsweg morgen in Ruhe an und vollende ihn.

// Edit: Ich frage mich gerade, wie man von einer zu intergrierenden Wurzel auf den Sinus kommt. Ist das eine allgemeine Regel des Integrals? Weißt du zusätzlich einen Satz, also eine Quelle, wo das bewiesen/hergeleitet wird?

Gruß
blackdrake

20.07.2009, 02:05

Airblader

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Zitat:

Ehrlichgesagt bin ich mir nicht ganz sicher, ob es fatal ist, wenn man die undefinierten Bereiche mitintegriert.

Das weiß keiner. Dürfte aber daran liegen, dass das ja auch Unsinn ist. Kannst du mal bitte sagen, wie man eine Funktion integriert, die nicht definiert ist verwirrt

air

20.07.2009, 04:17

WebFritzi

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Zitat:

Original von blackdrake
// Edit: Ich frage mich gerade, wie man von einer zu intergrierenden Wurzel auf den Sinus kommt. Ist das eine allgemeine Regel des Integrals? Weißt du zusätzlich einen Satz, also eine Quelle, wo das bewiesen/hergeleitet wird?

Es gilt für alle x: sin²(x) + cos²(x) = 1, also

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1 - \sin^2(x)} = |\cos(x)|. \end{eqnarray*}$

Daher weht der Wind.

20.07.2009, 10:06

Aradhir

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Zitat:

Meine Frage (2) ist also, ob diese Gleichung korrekt ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~|\sqrt[]{r^{2} - x^{2}}|~dx = |\int_{}^{}~\sqrt[]{r^{2} - x^{2}}~dx| \end{eqnarray*}$

Also ich weiß ja nicht, was du da immer mit deinem Betrag hast, aber bei mir ist eine Wurzel immer positiv. Wenn ich die Wurzel aus 4 ziehe kommt bei mir immer 2 raus. Klar ist -2 eine Lösung für die dazugehörige Quadratische Gleichung, aber die Wurzel aus einer Zahl ist doch immer positiv, was die Betragsstriche wegfallen lässt, oder irre ich?

20.07.2009, 12:22

WebFritzi

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Nein, du irrst nicht. Die reelle Wurzelfunktion ist auf den positiven reellen Zahlen (und Null) definiert und liefert für solche auch stets positive Ergebnisse (und Null für Null).

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