Statistik: EW und Varianz bei zwei ZV

18.07.2009, 10:55

axelt

Statistik: EW und Varianz bei zwei ZV

Hallo,

ich habe gerade folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{|l|c|c|c|} \hline &y=0 &y=1 &y=2\\ \hline \text{x=1}&0,1 &0,2 &0,3\\ \hline \text{x=2}&0,2 &0 &0,2\\ \hline \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Auszurechnen sind Erwartungswert, Varianz Randverteilungsfunktion sowie Kovarianz.

Die Sache ist, dass wir EW und Varianz eigentlich nie für 2 ZV ausgerechnet haben, dh. weiss ich nicht recht wie das geht. Für den Erwartungswert habe ich jetzt (1,4 ; 1,2) berechnet indem ich jeweils einzeln für die beiden Variablen den Erwartungswert ausgerechnet habe, wie das mit der Varianz geht weiss ich nicht dh. wäres klasse wenn es mir jemand verraten könnte ;-)

Vielen Dank

18.07.2009, 11:31

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Zur Berechnung der Kenngrößen (EW, Varianz, etc.) der einzelnen Komponenten X,Y benötigst du deren Verteilungen, und das sind gerade die Randverteilungen der gemeinsamen Verteilung von (X,Y). Bei einer diskreten Zufallsgröße wie hier sind das faktisch die Zeilen- und Spaltensummen der gegebenen Wahrscheinlichkeitsmatrix.

Nur für die Kovarianz brauchst du die Gesamtinformation der Matrix.

18.07.2009, 11:48

axelt

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Hm..ja die hatte ich ja für den EW schon ausrechnen müssen,

$\begin{eqnarray*} F_y=\begin{cases} 0,3 &y=0\\ 0,5 &y=1\\ 1 &y=2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Analog für x. Aber wie rechne ich jetzt für die Varianz weiter? Den EW glaube ich zumindest richtig zu haben ;-)

18.07.2009, 11:58

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Zitat:

Original von axelt
Aber wie rechne ich jetzt für die Varianz weiter?

Genau wie sonst bei einer normalen eindimensionalen diskreten Zufallsgröße. Hast du das schon mal getan?

18.07.2009, 20:56

axelt

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Eindimensional, soweit ich es richtig in Erinnerung habe:

$\begin{eqnarray*} D^2(X)=\int~(X-\xi)^2\cdot f(x)\; \mathrm dx \end{eqnarray*}$

Wäre das dann für zwei ZV:

$\begin{eqnarray*} D^2(X,Y)=\int~(X-\xi_x)^2\cdot(Y-\xi_y)^2\cdot f(x,y)\; \mathrm dx \;\mathrm dy \end{eqnarray*}$

??

18.07.2009, 21:07

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Zitat:

Original von axelt
Eindimensional, soweit ich es richtig in Erinnerung habe:

$\begin{eqnarray*} D^2(X)=\int~(X-\xi)^2\cdot f(x)\; \mathrm dx \end{eqnarray*}$

Na sagen wir

$\begin{eqnarray*} D^2(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ (x-\xi)^2\cdot f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \xi = E(X) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von axelt
$\begin{eqnarray*} D^2(X,Y)=\int~(X-\xi_x)^2\cdot(Y-\xi_y)^2\cdot f(x,y)\; \mathrm dx \;\mathrm dy \end{eqnarray*}$

Sowas wie eine Varianz für zwei Zufallsgrößen gibt es gar nicht. Sprichst du von der Kovarianz? Die wäre

$\begin{eqnarray*} \operatorname{cov}(X,Y) = E((X-E(X))(Y-E(Y))) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ (x-\xi_x)(y-\xi_y) \cdot f(x,y) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ .

Aber das alles gilt nur für stetige Zufallsgrößen. Für diskrete Zufallsgrößen - wie im vorliegenden Fall - stehen da Summen statt Integrale!

26.07.2009, 15:03

axelt00

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Nur noch einmal die Nachfrage:

Also sowas wie $\begin{eqnarray*} D^2(X,Y) \end{eqnarray*}$ gibt es nicht, sondern nur eben die einzelnen Varianzen von X und Y, sowie dann die Kovarianz dieser beiden ZV?

26.07.2009, 15:21

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Zitat:

Original von axelt00
Also sowas wie $\begin{eqnarray*} D^2(X,Y) \end{eqnarray*}$ gibt es nicht

Du kannst es gern erfinden, nur: Wozu? Augenzwinkern

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