Banachräume [Funktionalanalysis] - Seite 2

23.07.2009, 12:08

WebFritzi

Zitat:

Original von BanachraumK_5
Habe nur behauptet dass man $\begin{eqnarray*} \|x_n-x\|_\infty \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ nicht bilden kann

OK, es ist Fakt, dass x_n - x nicht diffbar ist. Deswegen liegt diese Funktion nicht im C^1. Das ist aber völlig unabhängig von der Supremumsnorm, die du sehr wohl von der Funktion bilden kannst. Insofern macht der zitierte Satz keinen Sinn.

23.07.2009, 14:16

BanachraumK_5

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Zitat:

Ok, also nochmal. $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ ist eine Cauchyfolge bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ , egal ob du das in $\begin{eqnarray*} C[a,b] \end{eqnarray*}$ oder in $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ betrachtest, denn dafür ist nur wichtig, wo die Folgenglieder liegen und die liegen in beiden Räumen. Es ist aber keine Cauchyfolge bzgl $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ . Punkt.

Das $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ Cauchyfolge bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ ist ja eigentlich trivial, denn wir wissen ja bereits dass die Folge konvergiert. Und jede konvergente Folge ist eine Cauchy Folge.

Zitat:

Naja das ist etwas ungenau. $\begin{eqnarray*} \left(C^1[a,b],\|\cdot\|_{\infty}\right) \end{eqnarray*}$ ist nicht abgeschlossen, weil die in $\begin{eqnarray*} (C[a,b],\|\cdot\|_{\infty}) \end{eqnarray*}$ konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ , die in $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ liegt, nicht gegen ein Element von $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ konvergiert.

s.h. Lemmas

Zitat:

Eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert in einem normierten Raum genau dann gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , wenn die reelle Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} (\|x_n-x\|) \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert. Letzteres wird durch obige Schreibweise dargestellt.

Wie kann man von einem Grenzprozess reden wenn da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\ \end{eqnarray*}$ nicht dabei steht??

Zitat:

Ich meinte damit nur, dass in meinem FA Buch die ganze Zeit von $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ die Rede ist und dann schüttelt der Typ auf einmal $\begin{eqnarray*} C[a,b] \end{eqnarray*}$ aus dem Ärmel. Außerdem kann man das nur weil $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert_\infty \end{eqnarray*}$ auch auf C[a,b]definiert ist.

Alles in allem habe ich fast alles (vieles) verstanden, habe auch nochmal die Def. im Buch angeschaut und mir das ganze plausibel gemacht. Danke das ihr euch soviel Zeit genommen habt.

23.07.2009, 14:28

BanachraumK_5

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Woran seht ihr eigtl. so schnell dass

$\begin{eqnarray*} x_n(t_0) = (t_0^2 + \frac{1}{n})^ \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für festes $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ bzgl. der beiden letzten Normen keine Cauchy Folge ist??

23.07.2009, 14:39

Sly

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Zitat:

Nein genau das ist es nicht! Es ist nicht trivial! Du musstest ja auch schließlich vorher lang und breit zeigen, dass in der Supremumsnorm tatsächlich $\begin{eqnarray*} x_n\to x \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Bei dir scheint noch immer ein grundsätzliches Missverständnis vorzuliegen:
Konvergenz ist nicht gleich Konvergenz! Nur weil eine Funktionenfolge einen Punktweise-Grenzwert hat, ist es völlig falsch zu behaupten, dass sie deshalb zu irgendeiner Norm eine Cauchy-Folge sein müsste.

Jede Norm definiert auf dem zugrundeliegenden Raum für sich eine eigene Topologie!
Dass zwei Normen die gleiche Topologie liefern, ist ausschließlich dann der Fall, falls sie äquivalent sind.
Und genau das ist bei zB bei $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ nicht der Fall. Die beiden Normen liefern ganz andere Topologien auf dem $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ -Raum.
Das ist ja auch ein Grund dafür, dass der Raum mit der ersten Norm zu einem unvollständigen Raum wird, hingegen mit der zweiten Norm zu einem Banachraum.

Zitat:

O.K. ich finde es aber komisch, dass man auf der einen Seite sagt $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ist Cauchy-Folge auf $\begin{eqnarray*} (C^1[a,b],\|\cdot\|_{\infty}) \end{eqnarray*}$ aber nicht auf $\begin{eqnarray*} \left(C^1[a,b],\|\cdot\|\right) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \left(C^1[a,b],\|\cdot\|^*\right) \end{eqnarray*}$ denn woher wissen wir genau, dass nicht wie auch bei $\begin{eqnarray*} (C^1[a,b],\|\cdot\|_{\infty}) \end{eqnarray*}$ (beachte C^1 nicht C[a,b]), ein Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ existiert für den $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \subset X \end{eqnarray*}$ wo $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ dann doch einen Grenzwert haben kann. Woher wissen wir das die Normen $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert \end{eqnarray*}$ nur auf $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ definiert sind.???

Das sagt man nicht einfach, das muss man schon nachweisen. Wie man das macht, habe ich dir ja skizziert.

Wie gesagt: Nur weil etwas bzgl. der einen Norm konvergiert, heißt das noch lange nicht, dass es bzgl. einer anderen Norm auch konvergieren muss.
Das ist eine fundamentale Tatsache, die du verstehen solltest, wenn du dich weiterhin mit solchen Räumen beschäftigst!

Zitat:

Wie kann man von einem Grenzprozess reden wenn da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\ \end{eqnarray*}$ nicht dabei steht??

Wir sind doch nicht mehr in der Schule. Das ist doch nur eine Notation.
Wenn man sich in diesen Gebieten bewegt, ist diese Grenzwert-Notation eigentlich auch viel besser:
Ein Ausdruck a la " $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\dots = \dots \end{eqnarray*}$ " suggeriert einem ja, dass das eine Art "eindeutiger" Grenzwert sei.
Je nachdem, mit was für einer Norm man gerade arbeitet, ist das aber nicht der Fall. Deshalb empfielt es sich auch, zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} x_n \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\longrightarrow} x \end{eqnarray*}$

zu schreiben, um zu verdeutlichen, bzgl. welcher Norm eine Folge konvergiert.

23.07.2009, 14:59

BanachraumK_5

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Zitat:

Ja stimmt. Wir haben ja schone gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergiert. Gleichmäßige Konvergenz ist aber gleichbedeutend mit konvergenz in der Supremumsnorm.

Sry. Topologie und Analysis, da habe ich auch nicht alle Sätze im Kopf. Mache erst seit ein paar Tagen FA.

Zitat:

Das ist ja auch ein Grund dafür, dass der Raum mit der ersten Norm zu einem unvollständigen Raum wird, hingegen mit der zweiten Norm zu einem Banachraum.

Ich werde nochmal den Anhang im Buch anschauen, da ist auch ein Abschnitt über TOPOLOGIE.

SRY aber ich hatte meinen ursprünglichen Beitrag nochmal umeditiert.

23.07.2009, 15:31

BanachraumK_5

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edit

Zitat:

Und genau das ist bei zB bei $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ nicht der Fall. Die beiden Normen liefern ganz andere Topologien auf dem $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ -Raum.

Hm dennoch kann man folgern, wenn $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ ist, ( $\begin{eqnarray*} \Vert x \Vert^* := \Vert x \Vert_{\infty} + \Vert x' \Vert_\infty \end{eqnarray*}$ ) dann ist $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ auch ein Cauchyfolge bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_\infty \end{eqnarray*}$ .
Und dann wissen wir auch, dass so eine Cauchyfolge einen Limes besitzen muss da $\begin{eqnarray*} C[a,b] \end{eqnarray*}$ vollständig.

Mit dem bewiesenen Satz aus der ANALYSIS I Vorlesung (Vertauschungssatz) folgt dann
$\begin{eqnarray*} \Vert x_n - x \Vert^* \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} \Vert x \Vert \le \Vert x \Vert^* \le 2\Vert x \Vert \end{eqnarray*}$ [/latex] gilt die selbe Aussage auch für $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert \end{eqnarray*}$

In diesem Fall haben wir also schon eine Verbindung zwischen den beiden Normierten Räumen... wie auch immer man das nennen mag..

23.07.2009, 16:41

WebFritzi

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Zitat:

Original von BanachraumK_5
edit

Zitat:

Hier ist wieder einiges entweder falsch oder missverständlich. OK, sei (x_n) eine Cauchyfolge bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_*. \end{eqnarray*}$ Dann ist es richtig, dass (x_n) auch eine CF bzgl. der Sup-Norm ist. Daraus folgt (wegen der Stetigkeit der x_n), dass (x_n) in der Supremumsnorm gegen eine stetige Funktion x konvergiert. Deine Formulierung "(x_n) hat einen Limes" ist hier nicht genau genug. Wie gesagt ist es wichtig, welche Art von Limes gemeint ist. Hier ist es der Limes bzgl. der Supremumsnorm. So. Und jetzt behauptest du, dass daraus mithilfe der Sätze aus der Analysis folgt, dass (x_n) auch bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_* \end{eqnarray*}$ gegen x konvergiert. Das ist aber falsch! Es ist zwar richtig, dass (x_n) bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_* \end{eqnarray*}$ gegen x konvergiert, aber der Hauptgrund ist, dass die Ableitungsfolge (x_n') bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_\infty \end{eqnarray*}$ konvergiert - und nicht, dass (x_n) bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_\infty \end{eqnarray*}$ konvergiert. Das haben wir doch schon ausführlich besprochen. Wann lernst du endlich mal aus diesem Thread, anstatt immer alles durcheinanderzuwürfeln?

24.07.2009, 09:44

BanachraumK_5

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Zitat:

OK, sei (x_n) eine Cauchyfolge bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_*. \end{eqnarray*}$ Dann ist es richtig, dass (x_n) auch eine CF bzgl. der Sup-Norm ist.

Genau.
Erinnerung:

$\begin{eqnarray*} \Vert x \Vert = \sup_{t \in [a,b]} \max\{ |x(t)|, |x'(t)|\} = \max\{ \Vert x(t) \Vert_\infty, \Vert x'(t) \Vert_\infty \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Vert x \Vert^* = \Vert x \Vert_\infty + \Vert x \Vert_\infty \end{eqnarray*}$

Das unsere Normen tatsächlich Normen sind sieht man sehr leicht:
Dreiecksungleichung:
$\begin{eqnarray*} \Vert u + v \Vert^* = \Vert u+ v \Vert_\infty + \Vert (u' + v') \Vert_\infty = \Vert u+ v \Vert_\infty + \Vert u' + v' \Vert_\infty \leq \Vert u \Vert_\infty + ... + \Vert v' \Vert_\infty = \Vert u \Vert^* + \Vert v \Vert^* \end{eqnarray*}$

Zitat:

Daraus folgt (wegen der Stetigkeit der x_n), dass (x_n) in der Supremumsnorm gegen eine stetige Funktion x konvergiert.

$\begin{eqnarray*} \text{Sei} f_n \text{ein Folge stetiger Fkt.; konvergiert}f_n \text{gleichmäßig gegen}f \text{so ist f stetig} \end{eqnarray*}$
Wir wissen ja inzwischen dass Konvergenz bzgl. der Supremumsnorm äquivalent zu gleichmäßiger Konvergenz ist. Konvergenz bzgl. der beiden obigen Normen ist jeweils äquivalent zur gleichmäßigen Konvergenz der Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x'_n) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und jetzt behauptest du, dass daraus mithilfe der Sätze aus der Analysis folgt, dass (x_n) auch bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_* \end{eqnarray*}$ gegen x konvergiert.

Nein so ist das nicht in Ordnung. Lies dir mal durch was ich zur gleichmäßigen Konvergenz geschrieben habe.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge stetig differenzierbarer Funktionen bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ . Dann konvergiert $\begin{eqnarray*} \left(f_n'\right) \end{eqnarray*}$ in der Supremumsnorm gegen eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ ebenfalls gleichmäßig gegen eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Nach dem oben zitierten Satz folgt dann aber die Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'=g \end{eqnarray*}$ (also $\begin{eqnarray*} f\in C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ ) und infolgedessen konvergiert $\begin{eqnarray*} \|f_n-f\|^*=\|f_n-f\|_{\infty}+\left\|f_n'-f'\right\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ gegen Null! Also ist $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ mit diesen beiden Normen jeweils vollständig.

Soweit ist doch dann alles klar! Und an die Sache mit dem Limes muss ich mich erstmal gewöhnen!

Also ich halte nochmal fest: Wir haben an einem Beispiel gesehen, dass ( $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ ) bzgl. der Supremumsnorm nicht vollständig ist. bzgl. der beiden obigen Normen haben wir gesehen, dass es sich um einen Banachraum handelt.

Ich halte nochmal fest Konvergenz ist immer bzgl. der jeweiligen Norm zu prüfen!

24.07.2009, 10:58

WebFritzi

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Zitat:

Original von BanachraumK_5

Zitat:

Und jetzt behauptest du, dass daraus mithilfe der Sätze aus der Analysis folgt, dass (x_n) auch bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_* \end{eqnarray*}$ gegen x konvergiert.

Nein so ist das nicht in Ordnung.

Doch, das ist so in Ordnung. Ich habe es doch zitiert.

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