Partielle DGL durch Produktansatz - klappt nicht :-(

18.07.2009, 17:20

The_Unknown

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Partielle DGL durch Produktansatz - klappt nicht :-(

Hallo liebe Experten,

ich muss gerade für die Prüfung eine partielle Differentialgleichung lösen. Diese soll man laut Aufgabe über den Produktansatz u(x,y)=u1(x)*u2(y) lösen.

Das habe ich gemacht (siehe Anhang, leider habe ich zum Abtippen nicht mehr genug Zeit, sorry unglücklich

unglücklich

) und bin aber auf ein anderes Ergebnis als in der Lösung steht gekommen. Nur weiß ich jetzt nicht, ob es wirklich falsch ist, oder ob man es durch eine Kostantenvariation auf das Ergebnis aus der Lösung rückführen könnte.

Laut Lösung soll herauskommen:
$\begin{eqnarray*} u1=K_1x^\lambda, u2=K_2\frac{1}{y^\lambda} \end{eqnarray*}$
also: $\begin{eqnarray*} u=u1*u2=K(\frac{x}{y})^\lambda \end{eqnarray*}$

Nur wieso kann man denn K1 und K2 zu einer neuen Konstante verschmelzen, wenn sie beide doch von verschiedenen Variablen abhängen ?

Und wie kommen sie auf das "minus lambda" ?

Ciao The_Unknown

18.07.2009, 18:21

WebFritzi

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Dein "analog" stimmt halt nicht. Und wie, glaubst du, soll man dir helfen, wenn du die entscheidende Stelle einfach weglässt? unglücklich

unglücklich

18.07.2009, 18:23

The_Unknown

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u2 geht analog (so dachte ich), weil ich einfach den Term mit u1 als Konstante lambda ansehe. Somit ergibt sich der gleiche Rechenweg wie bei u1.

Und bei dem Problem mit den Konstanten K1 und K2 braucht man diesen Teil doch gar nicht !?

18.07.2009, 18:42

WebFritzi

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Wenn du eher dir selber vertraust, wieso postest du dann hier überhaupt? unglücklich

unglücklich

18.07.2009, 18:49

The_Unknown

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Das tue ich doch gar nicht verwirrt

verwirrt

Ich wollte nur meinen Gedankengang erklären unglücklich

unglücklich

Sind meine Fragen nicht beantwortbar ?

18.07.2009, 18:59

WebFritzi

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Ich erwarte von dir, dass du dich mal auf den Hosenboden setzt und das vermeintliche "analog" nochmal durchrechnest.

Zu den Konstanten: Die hängen nicht von Variablen ab. Genau genommen sind es selber Variablen. Was auch immer du für das K1 z.B. einsetzt... Es wird immer eine Lösung der DGL sein. Das gleicche gilt für K2 in der anderen DGL-Lösung. Das Produkt von K1 und K2 ist somit wieder eine Variable K.

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18.07.2009, 19:11

The_Unknown

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Das u2 kann ich natürlich noch mal nachrechnen. In der Lösung setzt man es minus lambda. Nur warum ?

Zu den Konstanten: Kann es sein, dass diese in diesem speziellen Fall nicht von x oder y abhängen, weil ich sowieso laut der PDGL über beide Variablen integriere ?

Weil in den Lösungen wird sonst immer angegeben, von was die Konstanten abhängig sind.

PS: Auf "dem Hosenboden" saß ich heute schon lange genug, sei beruhigt Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.07.2009, 19:26

WebFritzi

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Zitat:

Original von The_Unknown
Das u2 kann ich natürlich noch mal nachrechnen. In der Lösung setzt man es minus lambda. Nur warum ?

Für alle x und alle y gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{xu_{1x}(x)}{u_1(x)} = -\frac{yu_{2y}(y)}{u_2(y)}. \end{eqnarray*}$

Setzen wir ein festes y_0 ein, so folgt für alle x:

$\begin{eqnarray*} \frac{xu_{1x}(x)}{u_1(x)} = -\frac{y_0u_{2y}(y_0)}{u_2(y_0)}. \end{eqnarray*}$

Also ist die Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto\frac{xu_{1x}(x)}{u_1(x)} \end{eqnarray*}$ konstant. Das gilt genauso für die Funktion $\begin{eqnarray*} y\mapsto\frac{yu_{2y}(y)}{u_2(y)}. \end{eqnarray*}$ Es gibt also ein $\begin{eqnarray*} \lambda, \end{eqnarray*}$ so dass für alle x und alle y gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{xu_{1x}(x)}{u_1(x)} = -\frac{yu_{2y}(y)}{u_2(y)} = \lambda. \end{eqnarray*}$

Also folgt für alle x:

$\begin{eqnarray*} \frac{xu_{1x}(x)}{u_1(x)} = \lambda \end{eqnarray*}$

und für alle y:

$\begin{eqnarray*} \frac{yu_{2y}(y)}{u_2(y)} = -\lambda. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von The_Unknown
Zu den Konstanten: Kann es sein, dass diese in diesem speziellen Fall nicht von x oder y abhängen, weil ich sowieso laut der PDGL über beide Variablen integriere ?
[/latex]

Diese Frage kann ich nicht beantworten, weil ich nicht verstehe, was du meinst.

Zitat:

Original von The_Unknown
PS: Auf "dem Hosenboden" saß ich heute schon lange genug, sei beruhigt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das mag ja sein. Doch wenn du möchtest, dass dir hier geholfen wird, dann musst du dazu bereit sein, dich nochmal auf den Hosenboden zu setzen.

18.07.2009, 19:27

wogir

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Hi.
Soweit ich das verstehe:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{xu_{1x}}{u_1}=-\frac{yu_{2y}}{u_2}<br /> \end{eqnarray*}$
Man sieht, dass die linke Seite nur von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt und die rechte Seite hängt nur von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab. Damit dies überhaupt möglich ist müssen beide Seiten konstant sein, d.h.

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{xu_{1x}}{u_1}=\lambda<br /> \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{yu_{2y}}{u_2}=-\lambda<br /> \end{eqnarray*}$

Dies wird gelöst durch

$\begin{eqnarray*} <br /> u_1(x)\sim x^\lambda<br /> u_2(y)\sim y^{-\lambda}<br /> \end{eqnarray*}$

Gruß
wogir

18.07.2009, 19:38

The_Unknown

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Aahh, jetzt ist es klar. Ich komme also auf diese verschiedenen Funktionen u1 und u2.

Nur was mir noch immer unklar ist, ist, wieso man K1 und K2 zu einem gesamten K zusammenfassen kann. Angenommen ich setze bei u1 für das K1 einfach mal x ein. Dann ist das doch keine Lösung der PDGL mehr ??

Bitte nicht falsch verstehen, ich bin nur etwas zermatscht von der ganzen Überei heute Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.07.2009, 19:44

wogir

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Naja, das ist eingentlich trivial
du weist, dass

$\begin{eqnarray*} <br /> u_1(x)=K_1x^\lambda<br /> u_1(x)=K_2y^{-\lambda}<br /> \Rightarrow u(x,y)=u_1(x)u_1(x)=\underbrace{K_1K_2}_{=: K}\left(\frac{x}{y}\right)^\lambda<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ sind KONSTANTEN. Sie hängen nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab.

Gruß

18.07.2009, 20:02

The_Unknown

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Und wie nennst du dann das, was bei dieser Integration herauskommt ?
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~0~dx=C(y) \end{eqnarray*}$
Diese "Konstante" kann von y abhängig sein und trotzdem wird die Gleichung erfüllt. Das meine ich hier. Nur was für die eine Integration eine Konstante ist (wie hier zB. C(y)=2y), ist für eine andere noch lange keine (wenn das obige Integral zB. über y laufen würde, dürfte C in keinem Fall gleich 2y sein).

Ich hoffe, ich rede nicht wirr, und du verstehst ein bisschen, was mein Problem an dieser Stelle ist. Für die Gleichung mit dem u1 kann die Konstante theoretisch auch 2y sein, für die Gleichung mit dem u2 halt nicht. Daher sind das 2 verschiedene Konstanten.

Wenn ich als Konstanten allerdings nur $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ansehe, dann gäbe ich dir recht.

18.07.2009, 20:17

wogir

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Äh, also den Anfang deiner Ausführungen kapier ich ned. Was hat das mit Integrationen zu tun?

Mach dir doch mal folgende Sachen klar:

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ hängt nicht von $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ ab.
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u_1}{\partial x}=\lambda x u_1 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ eine reine Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist. Folglich kann die Konstante $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ auch nicht von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängen. Das ist ja grade das Tolle am Porduktansatz.

18.07.2009, 20:24

The_Unknown

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Danke erst mal bis hierhin.

Schaue Dir mal bitte die 4. Zeile meiner gescannten Rechnung an. Die Konstante C1 erhalte ich durch eine unbestimmte Integration über x. Diese kann sehr wohl von y abhängen, weil ein Ableiten dieser Konstante nach x (um die Integration wieder rückgängig zu machen und wieder auf die 5. Zeile von unten zu kommen) ja auch 0 ist.

Jetzt verstanden ?

Edit: Das mit dem lambda ist mir nun klar, da es von x und y unabhängig sein *muss*.

18.07.2009, 20:30

WebFritzi

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Zitat:

Original von wogir
$\begin{eqnarray*} <br /> u_1(x)=K_1x^\lambda<br /> u_1(x)=K_2y^{-\lambda}<br /> \Rightarrow u(x,y)=u_1(x)u_1(x)=\underbrace{K_1K_2}_{=: K}\left(\frac{x}{y}\right)^\lambda<br /> \end{eqnarray*}$

Achte ein bisschen mehr darauf, was du schreibst, wogir.

@The Unknown: Es wird dich im Leben nicht viel weiterbringen, wenn du auf deinen (falschen) Vorstellungen beharrst. Es stellt sich wieder die Frage, warum du hier überhaupt etwas fragst, wenn du es ja doch besser weißt. Das macht keinen Sinn.

18.07.2009, 20:33

wogir

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Nö,
wenn ich dich richtig verstehe, meinst du
$\begin{eqnarray*} \ln u_1=\lambda\ln x+ C_1 \end{eqnarray*}$
Da steht ja links wieder nur $\begin{eqnarray*} \ln u_1(x) \end{eqnarray*}$ , was PER KONSTRUKTION nicht von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängt. Damit kann rechts für $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ nicht auf einmal ne $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Abhängigkeit spawnen.

Gruß

18.07.2009, 20:35

WebFritzi

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spawnen also... unglücklich

unglücklich

Augenzwinkern

@The Unknown: Achte auf mein Edit in meinem letzten Beitrag.

18.07.2009, 20:36

wogir

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Sorry, Copy&Paste-Errors

$\begin{eqnarray*} <br /> u_1(x)=K_1x^\lambda<br /> u_2(y)=K_2y^{-\lambda}<br /> \Rightarrow u(x,y)=u_1(x)u_2(y)=\underbrace{K_1K_2}_{=: K}\left(\frac{x}{y}\right)^\lambda<br /> \end{eqnarray*}$

18.07.2009, 20:37

The_Unknown

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Zitat:

Original von wogir
Nö,
wenn ich dich richtig verstehe, meinst du
$\begin{eqnarray*} \ln u_1=\lambda\ln x+ C_1 \end{eqnarray*}$
Da steht ja links wieder nur $\begin{eqnarray*} \ln u_1(x) \end{eqnarray*}$ , was PER KONSTRUKTION nicht von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängt. Damit kann rechts für $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ nicht auf einmal ne $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Abhängigkeit spawnen.

Gruß

Das stimmt natürlich. Vielen Dank für die Hilfe !

18.07.2009, 20:38

WebFritzi

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Gern geschehen.

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