kurze Theoriefragen

18.07.2009, 17:41

Hängemathe

kurze Theoriefragen

Ich habe gerade eine Unmenge an Theoriefragen bearbeitet und kam überraschend gut zurecht. Bei einigen wusste ich aber nichts mit anzufangen oder die Lösung habe ich nicht kapiert. Vielleicht hat ja der einen Tipp für mich:

1. Behauptung

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R -> R, \int_{a}^{b}~|f(x)|~dx= 0 \Rightarrow f(x)=0 \forall x \in [a,b] \end{eqnarray*}$

Wäre der Betrag nicht dort wäre die Behauptung doch wohl falsch, beispielsweise mit f(x)=x und a=-b . Mit dem Betrag im Integral komme ich aber nicht zurecht.

2. Behauptung

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R -> f(R) \end{eqnarray*}$

a) ist f periodisch, dann ist auch f' periodisch

Als periodische Funktionen fallen mir jetzt z.B. Sinus und Cosinus ein, wo die Ableitungen auch immer wieder periodisch sind. Nur weil ich ein Beispiel finde wo das so ist heißt es ja nicht nicht dass es kein Gegenbeispiel gibt...

b) ist f' negativ, so ist f umkehrbar

Was wird mit negativ gemeint sein? Ich weiß dass f umkehrbar ist wenn f bijektiv ist, aber mit der Ableitung und dem negativ komme ich nicht zurecht ...

3. Behauptung
Jedes Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle.

Meines Wissens nach hat ein Polynom n-ten Grades n Nullstellen. Da komplexe Nullstellen nur in komplex-konjugierten Paaren bei reellen Polynomen auftreten kann bei ungeradem Grad bei einem reellen Polynom die Behauptung nur wahr sein. Da es aber durchaus auch ein komplexes Polynom sein kann könnte es dann auch nur komplexe Nullstellen geben?

4. Kann man Rückschlüsse zwischen Funktion und Ableitung treffen in puncto Monotonie und Beschränktheit?

18.07.2009, 18:01

WebFritzi

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RE: kurze Theoriefragen

Zitat:

Original von Hängemathe
1. Behauptung

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R -> R, \int_{a}^{b}~|f(x)|~dx= 0 \Rightarrow f(x)=0 \forall x \in [a,b] \end{eqnarray*}$

Wäre der Betrag nicht dort wäre die Behauptung doch wohl falsch, beispielsweise mit f(x)=x und a=-b . Mit dem Betrag im Integral komme ich aber nicht zurecht.

Die Behauptung ist falsch. Zumindest, wenn f nicht als stetig vorausgesetzt ist. Wähle z.B. f = 0 überall, außer in einem Punkt x, wo f(x) = 1.

Zitat:

Original von Hängemathe
2. Behauptung

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R -> f(R) \end{eqnarray*}$

a) ist f periodisch, dann ist auch f' periodisch

Als periodische Funktionen fallen mir jetzt z.B. Sinus und Cosinus ein, wo die Ableitungen auch immer wieder periodisch sind. Nur weil ich ein Beispiel finde wo das so ist heißt es ja nicht nicht dass es kein Gegenbeispiel gibt...

Das ist richhtig. Aber stell dir doch mal eine periodische Funktion vor. Die ist auf Abschnitten immer gleich. Also wird doch auch die Ableitung auf den Abschnitten gleich sein, oder? Was musst du dafür zeigen?

Zitat:

Original von Hängemathe
b) ist f' negativ, so ist f umkehrbar

Was wird mit negativ gemeint sein? Ich weiß dass f umkehrbar ist wenn f bijektiv ist, aber mit der Ableitung und dem negativ komme ich nicht zurecht ...

Mit "negativ" ist gemeint, dass f'(x) < 0 für alle x gilt. Daraus folgt die strenge Monotonie und damit natürlich auch die Umkehrbarkeit.

Zitat:

Original von Hängemathe
3. Behauptung
Jedes Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle.

Meines Wissens nach hat ein Polynom n-ten Grades n Nullstellen. Da komplexe Nullstellen nur in komplex-konjugierten Paaren bei reellen Polynomen auftreten kann bei ungeradem Grad bei einem reellen Polynom die Behauptung nur wahr sein. Da es aber durchaus auch ein komplexes Polynom sein kann könnte es dann auch nur komplexe Nullstellen geben?

Deine Aussagen sind alle richtig. Und die letzte Frage ist zu bejahen. Wähle doch einfach p(z) = z - i. Also ist die Behauptung falsch.

Zitat:

Original von Hängemathe
4. Kann man Rückschlüsse zwischen Funktion und Ableitung treffen in puncto Monotonie und Beschränktheit?

Was hast du dir hierzu denn überlegt?

18.07.2009, 19:47

Hängemathe

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RE: kurze Theoriefragen

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Die Behauptung ist falsch. Zumindest, wenn f nicht als stetig vorausgesetzt ist. Wähle z.B. f = 0 überall, außer in einem Punkt x, wo f(x) = 1.
Die Funktion soll stetig sein. Das habe ich leider vergessen zu schreiben. Ich kann mir nach wie vor aber irgendwie nicht vorstellen, welche Rolle der Betrag im Integral spielt

Zitat:

Original von Hängemathe
4. Kann man Rückschlüsse zwischen Funktion und Ableitung treffen in puncto Monotonie und Beschränktheit?

Was hast du dir hierzu denn überlegt?

Ich habe bisher noch nicht von einem Zusammenhang in beiden Fällen gehört, daher würde ich sagen dass es da keine Verknüpfung gibt wie "ist f' nicht beschränkt, ist auch f nicht beschränkt". Vermutlich gibt es auch einfache Gegenbeispiele, aber mir raucht gerade der Kopf :-/

Nachtrag:

f(x)=x ist streng monton, die Ableitung allerdings nicht. Daher gilt z.B. nicht "ist f streng monoton, so ist auch f' streng monoton".

Nachtrag 2:

f(x)=x² ist nach unten beschränkt, die Ableitung allerdings nicht. Also gilt " ist f' nicht beschränkt, so ist auch f nicht beschränkt" nicht.

Wenn ich jetzt mal wieder totalen Blödsinn geschrieben habe sei es mir heute verziehen, mein Kopf glüht verwirrt

18.07.2009, 23:10

Leopold

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Mach es bei der Behauptung 1 umgekehrt. Folgere, Stetigkeit auf $\begin{eqnarray*} I = [a,b] \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt, aus $\begin{eqnarray*} f \neq 0 \end{eqnarray*}$ die Beziehung $\begin{eqnarray*} \int_a^b |f(x)|~\dd x > 0 \end{eqnarray*}$ .

Eigentlich ganz einfach: Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht identisch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , gibt es ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0) \neq 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} f(x_0) > 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f(x_0) < 0 \end{eqnarray*}$ . Wegen der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ existiert dann auch ein echtes Intervall $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0 \in J \subseteq I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in J \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f(x) < 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in J \end{eqnarray*}$ .
Was heißt das für den Betrag von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und das Integral darüber?

19.07.2009, 11:16

Hängemathe

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Ganz kann ich dir nicht folgen. Ich verstehe die einzelnen Schritte bzw. die Folgerung, sehe aber nicht wo es hinführt :-(

19.07.2009, 11:56

Leopold

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Würde ich auch nur einen weiteren Satz sagen, wäre die Aufgabe vollständig gelöst. Zumindest die Konklusion solltest du alleine hinbekommen. Ein Bildchen kann hilfreich sein.

19.07.2009, 12:23

Hängemathe

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Ich nehme eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall an. Das Integral darüber kann Null sein ohne dass es sich um die Nullfunktion handelt. Ein Beispiel wäre dafür f(x)=x mit den Grenzen -a und a. Das Integral wäre dann Null, die Funktion wäre nicht die Nullfunktion und die Behauptung wäre ohne den Betrag im Integral falsch. Ich kann mir den Betrag im Integral aber einfach nicht veranschaulichen.

19.07.2009, 12:40

Hängemathe

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Zitat:

Original von Leopold
Mach es bei der Behauptung 1 umgekehrt. Folgere, Stetigkeit auf $\begin{eqnarray*} I = [a,b] \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt, aus $\begin{eqnarray*} f \neq 0 \end{eqnarray*}$ die Beziehung $\begin{eqnarray*} \int_a^b |f(x)|~\dd x > 0 \end{eqnarray*}$ .

Eigentlich ganz einfach: Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht identisch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , gibt es ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0) \neq 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} f(x_0) > 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f(x_0) < 0 \end{eqnarray*}$ . Wegen der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ existiert dann auch ein echtes Intervall $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0 \in J \subseteq I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in J \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f(x) < 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in J \end{eqnarray*}$ .
Was heißt das für den Betrag von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und das Integral darüber?

Das müsste doch bedeuten dass der Betrag größer Null ist und das Integral dann auch ?

Der Betrag lässt doch alles was negativ ist positiv werden, also hätte ich eine beliebige Funktion die die X-Achse schneidet und somit Flächen über und unter der X-Achse hat wären nun alle Flächen oberhalb der X-Achse. Das Integral kann doch jetzt nur noch Null sein, wenn ich von der Null-Funktion rede ?!?

19.07.2009, 23:57

WebFritzi

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Zitat:

Original von Hängemathe

Zitat:

Das müsste doch bedeuten dass der Betrag größer Null ist und das Integral dann auch ?

Ja, aber das ist zu schwammig formuliert und erst recht kein Beweis. Leopold hat dir einen Ansatz präsentiert, den du nun nur noch zu Ende bringen musst.

Zitat:

Original von Hängemathe
Der Betrag lässt doch alles was negativ ist positiv werden, also hätte ich eine beliebige Funktion die die X-Achse schneidet und somit Flächen über und unter der X-Achse hat wären nun alle Flächen oberhalb der X-Achse. Das Integral kann doch jetzt nur noch Null sein, wenn ich von der Null-Funktion rede ?!?

Diese Vorstellung ist schon ok, aber eben kein mathematischer Beweis.

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