Verständnisfrage zu oberem und unterem Grenzwert

18.07.2009, 23:27

smiiile

Verständnisfrage zu oberem und unterem Grenzwert

Hallo,
ich habe noch Probleme mir den oberen und unteren Grenzwert richtig vorzustellen.

Wir haben das so definiert:

http://www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaM...na2/node30.html

Ich wusste nicht, wie ich das als Bild hier reinbekomme, deshalb hab ichs jetzt mal mit dem Link versucht...

zuerst einmal zum $\begin{eqnarray*} limsup x_k \end{eqnarray*}$ . Das ist ja der obere Grenzwert der Folge. Allerdings ist ein Grenzwert doch eine feste Zahl oder ein fester Ausdruck. Als Supremum kann ich aber doch jeden Ausdruck der größer als das Maximum ist wählen. Wenn ich hier das Supremum als den Grenzwert definiere, wird er aber doch Teil der Menge und kann nicht mehr außerhalb liegen. Das ist für mich ein Widerspruch.

Auch ist die Folge für die $\begin{eqnarray*} limsup x_k \end{eqnarray*}$ der Grenzwert ist, streng monoton fallend. Somit wird $\begin{eqnarray*} limsup x_k \end{eqnarray*}$ mit größer werdenden n ja immer kleiner... Das würde ja heißen, dass sich $\begin{eqnarray*} limsup x_k \end{eqnarray*}$ verändert.

Ist $\begin{eqnarray*} limsup x_k \end{eqnarray*}$ also der Wert der an jedem einzelnen Punkt die Glieder der Folge nach oben beschränkt?

Und wenn die Folge konvergiert, nimmt er irgendwann einen festen Wert an.

Dasselbe gilt für $\begin{eqnarray*} limimf x_k \end{eqnarray*}$ . Hat die Folge also einen Grenzwert, so treffen sich an der Stelle für n gegen unendlich $\begin{eqnarray*} liminf x_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} limsup x_k \end{eqnarray*}$ .

Das ist das, was ich bis jetzt glaube verstanden zu haben... aber wie gesagt, ich weiß wirklich nicht, ob das alles so stimmt, wie ich mir das vorstelle...
Kann mir jemand sagen, ob das soweit stimmt, und ob ich noch was Wichtiges vergessen habe?
Ich würde mich sehr über Antworten freuen smile

Was ich auch noch nicht verstanden habe, ist warum ich in der Formel für den Konvergenzradius eben diesen $\begin{eqnarray*} limsup x_k \end{eqnarray*}$ verwenden muss...

Gruß
smiiile

18.07.2009, 23:43

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Zitat:

Original von smiiile
Als Supremum kann ich aber doch jeden Ausdruck der größer als das Maximum ist wählen.

Da verwechselst du die Begriffe "Supremum" und "obere Schranke":

Das Supremum ist nicht irgendeine obere Schranke, sondern die kleinste obere Schranke, und als solche eindeutig definiert.

Zitat:

Original von smiiile
Auch ist die Folge für die $\begin{eqnarray*} limsup x_k \end{eqnarray*}$ der Grenzwert ist, streng monoton fallend. Somit wird $\begin{eqnarray*} limsup x_k \end{eqnarray*}$ mit größer werdenden n ja immer kleiner...

Wieder falsch aufgefasst: Es ist richtig, dass $\begin{eqnarray*} \sup\limits_{k\geq n} x_k \end{eqnarray*}$ monoton fallend in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist (das "streng" ist i.a. falsch) - na und? Es ist ja auch nicht $\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{k\to\infty} x_k \stackrel{?}{:=} \sup\limits_{k\geq n} x_k \end{eqnarray*}$ definiert, sondern

$\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{k\to\infty} x_k \stackrel{!}{:=} \lim\limits_{n\to\infty} \sup\limits_{k\geq n} x_k \end{eqnarray*}$ ,

und da ist nichts von einer ständigen "Veränderung". unglücklich

Zitat:

Original von smiiile
Was ich auch noch nicht verstanden habe, ist warum ich in der Formel für den Konvergenzradius eben diesen $\begin{eqnarray*} limsup x_k \end{eqnarray*}$ verwenden muss...

Weil der Limes Superior (unter Einbeziehung der Möglichkeit $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ ) immer existiert, was man vom Grenzwert nicht sagen kann!

19.07.2009, 00:00

Romaxx

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Hallo smiiile,

auch beim Weidl smile

Der $\begin{eqnarray*} \underset{k\to\infty}{\lim\sup}\;x_k \end{eqnarray*}$ ist nichts anderes als der größte Häufungswert einer Folge.

Anschaulich kann man sich die Definition mit einer Beispielfolge klar machen:

$\begin{eqnarray*} (x_k)=(-1,1,-1,\frac{1}{2},-1,\frac{1}{4},-1,\frac{1}{8},-1,\frac{1}{16},...) \end{eqnarray*}$

Nach der Definition gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim\sup _{k\to \infty }x_{k}=\overline{{\lim}}_{k\to \infty }x_{k}:=\inf _{n\in \mathbb{N}}y_{n}=\lim _{n\to \infty }y_{n} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} y_{n}:=\sup _{k\geq n}x_{k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x_k) \end{eqnarray*}$ beschränkt.

$\begin{eqnarray*} (y_n) \end{eqnarray*}$ sieht dann wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} (y_n)=(1,1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4},...) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} y_n = 0 \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} \inf\{y_n: n\in\mathbb N\}=0 \end{eqnarray*}$

Gruß

19.07.2009, 11:05

smiiile

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Vielen Dank erstmal für eure Antworten.

@Arthur Dent:

Du hast Recht, das Supremum ist die kleinste obere Schranke, das hatte ich vergessen. Widerspruch beseitigt smile

Dass $\begin{eqnarray*} \sup\limits_{k\geq n} x_k \end{eqnarray*}$ nicht streng monoton fallend ist, sondern nur monoton fallend, sieht man ja recht gut an dem Beispiel von Romaxx, da kommt ja jeweils zweimal der gleiche Wert hintereinander vor.

Mit der ständigen Veränderung hatte ich gemeint, dass der $\begin{eqnarray*} \sup x_{k} \end{eqnarray*}$ mit größer werdendem n immer kleiner wird. Wenn ich ihn also "einzeichnen" könnte, wäre das eine fallende (oder gleichbleibende) Linie. Aber das bedeutet ja gerade, dass der Limes $\begin{eqnarray*} \lim\sup _{k\to \infty }x_{k} \end{eqnarray*}$ einen festen Grenzwert hat (also eine reelle Zahl oder $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ ) und nur der ist beim Limes entscheidend.

Zitat:

Zitat:
Original von Arthur Dent

Zitat:

Zitat:
Original von smiiile
Was ich auch noch nicht verstanden habe, ist warum ich in der Formel für den Konvergenzradius eben diesen $\begin{eqnarray*} limsup x_k \end{eqnarray*}$ verwenden muss...

Weil der Limes Superior (unter Einbeziehung der Möglichkeit $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ ) immer existiert, was man vom Grenzwert nicht sagen kann!

Also hier ist mir klar, dass man den limsup verwendet, da das Maximum nicht immer existiert.
Allerdings wundert mich das $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ . Ich dachte, dass der Limes Superior wenn ich mit n gegen unendlich gehe, reelle Zahlen oder $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ als Wert annimmt, da das Supremum ja monoton fallend ist.

Oder muss ich jetzt den Limes Superior für n gegen 0 betrachten?

@Romaxx

Ja, bin auch beim Weidl smile

Die Beispielfolge ist super. Da kann ich mir das besser vorstellen.

Hier wäre dann analog:

$\begin{eqnarray*} \lim\inf _{k\to \infty }x_{k}= -1 \end{eqnarray*}$ da für n gegen unendlich jeweils der kleinste Wert -1 ist. In diesem Fall ist dies auch das Minimum (da es existiert).

Gruß
smiiile

19.07.2009, 11:09

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Zitat:

Original von smiiile
Allerdings wundert mich das $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ .

Betrachte mal als Beispiel die Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} k^k x^k \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

19.07.2009, 11:49

smiiile

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hmm, ich verstehe noch nicht ganz, worauf du raus willst, aber ich berechne jetzt mal den Konvergenzradius dieser Reihe, um zu sehen, was rauskommt:

$\begin{eqnarray*} R= \frac{1}{limsup (\sqrt[k]{k^{k}}) }= \frac{1}{limsup( k)} \end{eqnarray*}$

Dies geht ja für k gegen unendlich gegen 0, da limsup(k) gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ geht.

hmm.. Vielleicht klappt es besser, wenn ich mal die ersten paar Folgenglieder aufschreibe:

$\begin{eqnarray*} (x_k)=(1,4,9,16,...) \end{eqnarray*}$ Diese Folge reeller Zahlen ist nicht nach oben beschränkt, also kann ich doch auch nicht

$\begin{eqnarray*} y_{n}:=\sup _{k\geq n}x_{k} \end{eqnarray*}$ setzen, da dies nur für $\begin{eqnarray*} (x_k) \end{eqnarray*}$ beschränkt gilt, oder?

Ich glaube ich komme noch nicht auf das, was du meinst...

Mein Problem ist immernoch, dass ich das $\begin{eqnarray*} y_{n} \end{eqnarray*}$ ja nur definieren kann, wenn die Folge nach oben beschränkt ist. Oder ist sie in diesem Fall mit $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ beschränkt? Allerdings muss sie doch auch monoton fallend sein, und das ist hier nicht gegeben...

Die Folge ist allerdings nach unten beschränkt. Damit wäre nach meinem Kenntnisstand liminf = $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ aber nicht limsup.

Vielleicht kannst du mir noch einen Tipp geben?

19.07.2009, 12:31

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Zitat:

Original von smiiile
da limsup(k) gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ geht.

Wie kommst du denn auf $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ? unglücklich

Nein, es ist

$\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{k\to\infty} \sqrt[k]{k^k} = \limsup\limits_{k\to\infty} k = +\infty \end{eqnarray*}$ ,

da ja schließlich für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Beziehung $\begin{eqnarray*} \sup_{k\geq n} k = +\infty \end{eqnarray*}$ gilt. Warum gehst du nicht streng nach Definition?

Zitat:

Original von smiiile
$\begin{eqnarray*} (x_k)=(1,4,9,16,...) \end{eqnarray*}$ Diese Folge reeller Zahlen ist nicht nach oben beschränkt, also kann ich doch auch nicht

$\begin{eqnarray*} y_{n}:=\sup _{k\geq n}x_{k} \end{eqnarray*}$ setzen, da dies nur für $\begin{eqnarray*} (x_k) \end{eqnarray*}$ beschränkt gilt, oder?

Das ist richtig, wenn du über die Topologie in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sprichst. Im vervollständigten Raum $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty,\infty\} \end{eqnarray*}$ existiert dieses Supremum aber sehr wohl, und über diesen Raum reden wir hier. Augenzwinkern

19.07.2009, 14:00

smiiile

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heißt das, dass ich

$\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{k\to\infty} k \end{eqnarray*}$ auch dann definieren kann, wenn meine Folge monoton steigend ist?

Ich dachte bis jetzt, dass ich bei jeder monoton steigenden Folge den Limes Inferior verwende und bei jeder monoton fallenden Folge den Limes superior.

Dann kann ich also bei jeder Folge beide verwenden?

Mit dem Limes Superior als kleinster oberen Schranke für große n und dem Limes Inferior als größte untere Schranke für große n.

Ja, dann passt das auch, dass wenn die Folge einen Grenzwert hat, limsup = liminf ist für große n.
Denn dann treffen sich beide an der Stelle.

Wenn die Folge also monoton steigend ist, kann ich das ganze analog definieren und dann wird der Limes Superior $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ im vervollständigten Raum dabei sind.

19.07.2009, 16:18

Romaxx

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Hallo smiiile,

lese dir die Definition im Script vom Weidl noch einmal durch, da steht alles was du wissen willst.

Der obere und untere Grenzwertbetrachtung ist nicht abhängig von der Folge, die du vor dir hast. Du kannst beide auf jede x-beliebige Folge anwenden.

Gruß

19.07.2009, 17:16

smiiile

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Ok, alles klar... hab ich irgendwie überlesen...

"Der obere und untere Grenzwert ist damit für jede Folge reeller Zahlen bestimmt. "

Danke smile

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