Satz von Stokes

19.07.2009, 08:21

axelt

Satz von Stokes

Sers,

wir hatten als letztes Thema in Mathe den Satz von Gauss und Satz von Stokes. Da ich mittlerweile den Studiengang gewechselt habe wäre eine eher unmathematische Erklärung klasse :-)

Der Satz von Gauss ist mir völlig klar. Dient dazu mit gegebenen Vektorfeld den Fluss durch eine geschlossene Oberfläche zu berechnen. Auch die Anwendung klappt.

Beim Satz von Stokes klappt zwar die Anwendung, aber mir fehlt das Verständnis was ich da überhaupt mache.
Wir hatten den Satz in dieser Form:

$\begin{eqnarray*} \int_\mathcal{C}~\vec{f}\cdot \mathrm d\vec{x} = \int\int_\mathcal{F}~\text{rot}\; \vec{f}\cdot \vec{n_0}\; \mathrm dS \end{eqnarray*}$

Was genau steckt also hinter dem Satz? Ich bräuchte mal ein Anwendungsbeispiel um das zu verstehen. Bei Wiki stehen nur Erklärungen die sehr mathematisch sind und die ich demnach nicht wirklich verstehe.

Hab nur bisher gescheckt dass ich irgendwie mit dem Randintegral (also der Randkurve) einer Fläche irgendwas anderes berechne ;-)

Bin für jede Hilfe dankbar :-)

Beste Grüße

edit: Insbesondere noch die Frage: kann ich mit dem Satz von Stokes irgendwie den Fluss durch eine Fläche ausrechnen oder sowas? Hatte ich eben irgendwo gelesen und scheint mir recht naheliegend..

20.07.2009, 00:18

WebFritzi

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RE: Satz von Stokes

Zitat:

Original von axelt
$\begin{eqnarray*} \int_\mathcal{C}~\vec{f}\cdot \mathrm d\vec{x} = \int\int_\mathcal{F}~\text{rot}\; \vec{f}\cdot \vec{n_0}\; \mathrm dS \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite wird das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec f \end{eqnarray*}$ über die Kurve $\begin{eqnarray*} \mathcal C \end{eqnarray*}$ integriert. Das rechte Integral ist das Flussintegral des Vektorfeldes $\begin{eqnarray*} {\rm rot}\,\vec f \end{eqnarray*}$ über die Fläche $\begin{eqnarray*} \mathcal F. \end{eqnarray*}$ Dabei sollte $\begin{eqnarray*} \mathcal C \end{eqnarray*}$ eigentlich der Rand der Fläche $\begin{eqnarray*} \mathcal F \end{eqnarray*}$ sein.

21.07.2009, 08:51

axelt

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Hm okay.. Also ich hatte gelesen das ich mit dem rot die Tendenz zur Zirkulation des Vektorfeldes berechne. Inwiefern hängt das jetzt mit dem Fluss durch die Fläche zusammen? Kann ich den damit irgendwie berechnen - also einfach Fluss eines Vektorfeldes durch eine (nicht geschlossene also eine die nen Rand hat) Fläche?

Achso und was ist wenn ich ne Fläche mit zwei Rändern hab, so wie z.B. einen Zylindermantel?

22.07.2009, 13:15

Ehos

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Um den Satz von Stokes zu verstehen, muss man die Bedeutung der Rotation eines Vektorfeldes verstehen:

Stell' dir ein Kraftfeld $\begin{eqnarray*} \vec{F}(\vec{x}) \end{eqnarray*}$ vor, das z.B. durch Wind erzeugt wird und das auf einen Wanderer eine Kraft ausübt. Wenn dieser Wanderer eine geschlossene Kurve wandert, so ist die dabei verrichtete Arbeit

$\begin{eqnarray*} Arbeit=\oint~\vec{F}(\vec{x})~d\vec x \end{eqnarray*}$

Wir lassen den Flächeninhalt dieser Kurve immer kleiner werden und betrachten den Grenzwert "Arbeit pro Fläche" für unendlich kleine Flächen. Das ergibt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{Flaeche \to 0} \frac{Arbeit}{Flaeche} =\lim_{A \to 0} \frac{\oint~\vec{F}(\vec{x})~d\vec x}{A}=\vec{n} \cdot rot(\vec{F}(\vec{x})) \end{eqnarray*}$

Durch eine einfache aber längere Rechnung kann man zeigen (Siehe z.B. Georg Joos: "Höhere Mathematik"), dass dieser Grenzwert gleich dem Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \vec{n} \cdot rot(\vec{F}(\vec{x})) \end{eqnarray*}$ ist, wobei der Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ senkrecht auf der Fläche steht und der Vektor $\begin{eqnarray*} rot(\vec{F}(\vec{x})) \end{eqnarray*}$ die bekannte Form hat. Bei Bedarf kann ich dir die Rechnung mal zeigen.

Nun stell' dir nicht eine einzige geschlossene Kurve vor, sondern sehr viele geschlossenen Kurven, die wie bei einem Fischernetz benachbart sind. Entlang jeder "Masche" dieses Fischernetzes wandert ein Wanderer entgegen dem Uhrzeigersinn. Für jeden Wanderer berechnen wir den obigen Grenzwert. Es ist klar, dass man den Vektor $\begin{eqnarray*} rot(\vec{F}(\vec{x})) \end{eqnarray*}$ als eine Art Energiedichte (pro Fläche) interpretieren kann, welche ein Maß dafür ist, wieviel Energie der Wanderer auf einem geschlossenen Weg pro Fläche aus dem Windfeld herausholen kann oder hineinstecken muss.

Wesentlich ist die Tatsache, dass sich die Teilintegrale über alle "inneren Maschen" im Netz gegenseitig aufheben, so dass nur das Integral um das gesamte Fischernetz als Ganzes übrigbleibt.

Das Satz von Stokes besagt also folgendes:

Alle "kleinen Wandere", die um ihre eigne Masche im Kreis gehen, müssen in der Summe dieselbe Energie aufbringen, also wenn ein einziger Wanderer außen um das gesamte Netz geht. Das erste Integral ist das Flächenintegral über die oben beschriebene Energiedichte (Rotation). Das zweite Integral ist das Ringintegral um das gesamte Netz.

25.07.2009, 15:18

axelt

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Vielen, das sieht auf den ersten Blick schonam sehr hilfreich aus, hab grad keine Zeit werds mir aber später dann zu Gemüte führen :-)

16.11.2009, 09:26

maxi86

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Freude