schwache Ableitung?

19.07.2009, 11:17

Betsy

schwache Ableitung?

Hallo!

Ich sehe gerade die Definition auf Wikipedia, Stichwort: schwache Ableitung.
Da steht

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Betrachtet man eine auf einem offenen Intervall I = (a,b) differenzierbare Funktion f und eine Testfunktion $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ (das heißt, $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist beliebig oft differenzierbar und besitzt einen kompakten Träger), dann gilt

$\begin{eqnarray*} \int_I f^\prime(t) \varphi(t) \,\mathrm{d}t = - \int_I f(t) \varphi^\prime(t) \,\mathrm{d}t. \end{eqnarray*}$

Hierbei wurde die partielle Integration verwendet, wobei die Randterme wegfallen $\begin{eqnarray*} (\varphi(a) = 0, \varphi(b) = 0). \end{eqnarray*}$

Ist f eine L2-Funktion, dann kann, selbst wenn f nicht differenzierbar ist (genauer: keinen differenzierbaren Vertreter in der Äquivalenzklasse besitzt), eine Funktion $\begin{eqnarray*} g \in L^2(a,b) \end{eqnarray*}$ existieren, die die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \int_I g(t) \varphi(t) \,\mathrm{d}t = - \int_I f(t) \varphi^\prime(t) \,\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

für jede Testfunktion $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ erfüllt. Eine solche Funktion g heißt schwache Ableitung von f. Man schreibt wie bei der starken Ableitung $\begin{eqnarray*} f^\prime := g. \end{eqnarray*}$

______________________

Nun ist meine Frage, wenn f aus L² ist, woraus müssen dann die Testfunktionen $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sein? Auch aus L²?

Danke!

19.07.2009, 12:34

Sly

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Ich denke, nach Definition ist auch weiterhin $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ als eine $\begin{eqnarray*} C^\infty_c \end{eqnarray*}$ -Funktion gedacht.

Entscheidend ist das jedoch nicht: Man kann zeigen, dass dieser Funktionenraum dicht in L^2 liegt. Die Integralidentität würde meines Wissens auch für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ aus L^2 folgen.

19.07.2009, 13:55

Betsy

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Hallo Sly

Vielen Dank für deine Stellungnahme, damit bin ich zufrieden Mit Zunge

Grüße

20.07.2009, 00:35

WebFritzi

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Zitat:

Original von Sly
Entscheidend ist das jedoch nicht: Man kann zeigen, dass dieser Funktionenraum dicht in L^2 liegt. Die Integralidentität würde meines Wissens auch für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ aus L^2 folgen.

Das ist natürlich Unsinn. Was soll denn dann $\begin{eqnarray*} \varphi' \end{eqnarray*}$ sein? Der Raum der Testfunktionen besteht hier immer aus den auf dem Intervall unendlich oft diffbaren Funktionen mit kompaktem Träger.

20.07.2009, 06:34

Betsy

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Hallo WebFritzi

Danke, dass du das noch richtig gestellt hast.

Grüße

28.04.2010, 16:46

BanachraumK_5

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Zitat:

Der Raum der Testfunktionen besteht hier immer aus den auf dem Intervall unendlich oft diffbaren Funktionen mit kompaktem Träger.

Man kann diese Formel auch für Testfunktionen aus dem Raum $\begin{eqnarray*} C^1_{c} \end{eqnarray*}$ zeigen, isofern ist es genügend wenn $\begin{eqnarray*} \phi \in C^1_{c}(U) \end{eqnarray*}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray*} U := ]a,b[ \end{eqnarray*}$ .

Ist die obige Formel für $\begin{eqnarray*} f \in L^2(U) \forall \phi \in C^1_{c}(U) \end{eqnarray*}$ gültig so heißt g der schwache Gradient oder die schwache Ableitung von f.

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