Invarianz des Residuums unter biholomorphen Abbildungen

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Woaze Auf diesen Beitrag antworten »
Invarianz des Residuums unter biholomorphen Abbildungen
Hallo, muss folgende Aufgabe lösen:

Es sei f holomorph auf einem Gebiet U und es gelte für alle z aus U. Weiterhin sei g auf f(U) meromorph.
Man drücke durch aus.
Ist das Residuum einer Funktion demnach invariant unter Biholomorphen Abbildungen.

Um ehrlich zu sein habe ich keine Ahnung wie ich diese Aufgabe angehen soll.
Ich weiß eigentlich gar nicht was ich überhaupt machen muss. Das eine durch das andere ausdrücken aber wie.

r??? Also dieses f sollte ja zumindest biholomorph sein, weil es ja lokal biholomorph ist für alle z aus Z also global biholomorph, dadurch ist es dann auch injektiv und so weiter.
Das erklärt dann wenigstens die letzte Frage der Aufgabe.

aber wie ich da jetzt vorgehe, keine Ahnung.

Hoffentlich kann mir jemand helfen.

Wie schreibe ich hier eigentlich Formeln, weil der Formeleditor hier im Forum ist ja sehr dürftig und mit Latex kenn ich mich nicht so aus?
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Vorsicht! Aus "lokal biholomorph" folgt nicht "global biholomorph". Siehe zB Die gewöhnliche e-Funktion, die widerlegt diese Folgerung.
Woaze Auf diesen Beitrag antworten »

Gut das ist ja schon mal was, danke. Dann macht die Aufgabe auch a bissal mehr sinn.

Jetzt braucht die Funktion auch nur lokal biholomorph zu sein damit ich das residuum so umschreiben kann wie in der Aufgabe verlangt ist.

Also ich versuchs mal soweit zu erklären wie ichs jetzt verstanden habe:

Die Funktion g ist Meromorph, was ist daran eigentlich so wichtig, dass da nur polstellen in F(U) sind und keine wesentlichen Singularitäten? Ich kann das residuum ja auch um wesentliche Singularitäten ausrechen.

g meromorph bedeutet das da residuen sind und die kann ich berechnen und um (in der Nähe) dieser singularitäten f(z) ist auch f biholomorph und man kann f^-1 bilden. Verhält sich dann f wie ein integrationsweg und man kann deshalb sagen das f das residuum invariant lässt? und wie schreibe ich das in der residuumsformel auf?

Danke fürs draufhelfen.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Dass man wesentliche Singularitäten von g ausschließt, macht durchaus Sinn:

zB ist biholomorph und hat in 0 eine wesentliche Singularität, jedoch die Verkettung hat in 0 garkeine isolierte Singularität mehr, besitzt dort also erst recht kein Residuum!

Wie man hier jedoch sinnvoll ansetzt, weiß ich gerade auch nicht.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das dort oben ergibt irgendwie keinen Sinn. Es sollte doch schon



heißen.

@Sly
Dein Beispiel entspricht dementsprechend auch irgendwie nicht den Gegebenheiten. In deinem Fall ist und dies hat in Null natürlich verschwindendes Residuum. Die Frage ist nur, was sein sollte. ist in Null ja eigentlich gar nicht definiert. Man kann aber natürlich in geeigneter Weise sowie setzen und erhält so auch einfach .
Woaze Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Mühe, ja es soll schon heißen, tut mir leid, da habe ich einen Fehler gemacht.

Ansonsten muss ich diese Aufgabe bis morgen um 12 gelöst haben aber ich habe immer noch keine Idee wie ich da anfangen soll.

Ich finde einfach keinen Einstieg in diese Aufgabe.


und
und f ist um dieses z_0 biholomorph, also f^-1 gibts aber was bringt mir das?
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerstmal hat g in der Nähe von die Form



Nun kannst du dich aufgrund der Linearität des Residuums und mithilfe des Cauchyschen Integralsatzes auf Funktionen der Form



beschränken (Beweis!). Für kleines r > 0 folgt



Man ist nun geneigt zu sagen, dass das Integral für k < -1 verschwindet, da der erste Faktor für kleines r fast gleich einer Konstanten ist (nämlich ) und



Aber das stimmt nicht! Definieren wir die in U holomorphe Funktion



so gilt vielmehr nach der Cauchyschen Integralformel



Für k = 1 ergibt sich als Summand:



Aber leider haben die anderen 's auch noch ein Wörtchen mitzureden. Irgendwie macht das die Aufgabe doof. Man kann also das eine Residuum nicht mithilfe des anderen (also als Funktion des anderen) ausdrücken.
Woaze Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort, ich habe die Nacht auch nicht schlafen können;-)

Also ich habe deinen Beitrag verstanden und ich finde die Argumentation sehr gut, nur leider steht die Aufgabe wie oben geschrieben genau so auf dem Übungsblatt. Bie dir würde es zumindest für einfache Polstellen funktionieren.

Vielleicht kann man ja mit der Argumentfunktion noch was...

Ich bin echt so ratlos bei dieser Aufgabe, die macht mich fertig.

Kann man denn nix mit der lokalen biholomorphie anfangen?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es bringt einem nichts. Wähle





und

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist



was irgendwie nichts mit zu tun hat.


Ich könnte mir vorstellen, dass dein Übungsleiter sich verrechnet hat, o.ä.
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