Gaußscher Integralsatz

19.07.2009, 14:50

barthcar

Gaußscher Integralsatz

Hi Leute,

ich schreibe Dienstag Klausur zu Analysis II und bin völlig am verzweifeln weil mir so viel unklar ist. Ich kenne auch niemanden den ich fragen kann und muss darum mal ein paar Sachen fragen.

Wir haben in einer Übung ein Kurvenintegral auf zwei Arten berechnet. Es ging um einen Halbkreis mit Radius R, Mittelpunkt (0,0) für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Man sollte dann folgendes Integral berechnen:
$\begin{eqnarray*} \oint_{\mathfrak{C}}-ydx+xdy \end{eqnarray*}$
Das Ergebnis war $\begin{eqnarray*} \pi R^2 \end{eqnarray*}$ . Dann haben wir das über den Gauß'schen Integralsatz
$\begin{eqnarray*} \oint_{\mathfrak{C}}\omega=\int_{\Omega}d\omega \end{eqnarray*}$ berechnet. Dieses $\begin{eqnarray*} d\omega \end{eqnarray*}$ haben wir so berechnet:
$\begin{eqnarray*} d\omega=d(-ydx+xdy)=2dx\wedge dy \end{eqnarray*}$
Dann hat unser Professor einfach gesagt, dass $\begin{eqnarray*} 2\int_{\Omega}dx\wedge dy \end{eqnarray*}$ 2 mal die Fläche vom Halbkreis ist, also wieder das gleiche rauskommt. Aber warum?

Weil ich das nicht verstehe kann ich jetzt folgende Aufgabe nicht lösen:

Seien $\begin{eqnarray*} \mathfrak{C}_1 \end{eqnarray*}$ der Viertelkreisbogen vom Punkt (2,0) zum Punkt (0,2) und $\begin{eqnarray*} \mathfrak{C}_2, \mathfrak{C}_3,\mathfrak{C}_4 \end{eqnarray*}$ die Verbindungsstrecken von (2,0) nach (-2,2) über (0,0) zurück zu (2,0). Dann soll das Integral über die geschlossene orientierte Kurve $\begin{eqnarray*} \mathfrak{C}=\mathfrak{C}_1+\mathfrak{C}_2+\mathfrak{C}_3+\mathfrak{C}_4 \end{eqnarray*}$ berechnet werden, mit
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathfrak{C}}(x^2+3y)dx+(y^3-5x)dy \end{eqnarray*}$ .

Das wollte ich auch über den gaußschen Integralsatz machen und komme dann auf:
$\begin{eqnarray*} \int_{\Omega}d\omega=8\int_{\Omega}dy\wedge dx \end{eqnarray*}$

Und was ist das jetzt?

Das war ein langer Text, ich hoffe es hilft mir trotzdem jemand.

Danke!

Carlo

19.07.2009, 18:18

barthcar

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Kann mir keiner nen Tipp geben?

20.07.2009, 00:58

WebFritzi

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Meinst du nicht eher den Satz von Stokes? Der Gaußsche macht hier IMHO nicht viel Sinn.

20.07.2009, 08:41

barthcar

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Ja, das kann gut sein smile

Bringt mich auch zu einer nächsten Frage: Wann verwende ich denn den gaußschen und wann den stokesschen Integralsatz?

Wie würde der Ansatz mit Stokes lauten?

Danke!

20.07.2009, 12:20

WebFritzi

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Zitat:

Original von barthcar
Wie würde der Ansatz mit Stokes lauten?

Der steht doch oben, Mensch! Augenzwinkern

20.07.2009, 16:40

barthcar

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Ich habe die Aufgabe jetzt erstmal ohne den Satz von Stokes gelöst.

Ich habe die Geraden parametrisiert, indem ich zum Beispiel für die Gerade von (0,2) zu (-2,2)
$\begin{eqnarray*} x=2-t; y=t; 0\geq t\geq 2;\qquad dx=-dt; dy=dt \end{eqnarray*}$ gewählt habe. Dann halt einsetzen und integrieren.
Den Viertelkreis habe ich so parametrisiert:
$\begin{eqnarray*} x=\cos \phi; y=\sin\phi; 0\geq \phi\geq\frac{\pi}{2};\qquad dx=-\sin\phi d\phi; dy=\cos\phi d\phi \end{eqnarray*}$ . Und dann ebenfalls einsetzen und integrieren. Als Ergebnis erhielt ich somit:
$\begin{eqnarray*} -2\pi-\frac{209}{12} \end{eqnarray*}$ .
Kann das stimmen?

Mir wurde gesagt man kann das mit dem Satz von Stokes viel einfacher machen. Aber dafür müsste ich ja den Viertelkreis und das Dreieck parametrisieren. Aber wie mache ich das?

Ein Tipp wäre nett! Danke...

Carlo

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