Dgl 2. Ordnung mit Störung

19.07.2009, 15:56

Stevanovic

Dgl 2. Ordnung mit Störung

Hallo,
ich bin neu hier und habe schon ein kleines Problem.
Diese Differentialgleichung bekomme ich nicht gelöst
$\begin{eqnarray*} y''-2y'=x^2+3 \end{eqnarray*}$

Ich habe bisher gerechnet
homogene Dgl:
$\begin{eqnarray*} y''-2y'=0 \end{eqnarray*}$
allg. Lösung der homogenen Dgl:
$\begin{eqnarray*} y_h=c_1*e^{0x}+c_2*e^{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s(x)=x^2+3 \end{eqnarray*}$
--> keine Resonanz, also Ansatz:
$\begin{eqnarray*} y_p=A_2x^2+A_1x+A_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_p'=2A_2x+A_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_p''=2A_2 \end{eqnarray*}$

einsetzen in inhomogene Dgl:
$\begin{eqnarray*} 2A_2-4A_2x-2A_1=x^2+3 \end{eqnarray*}$
Kann ich jetzt einen Koeffizientenvergleich machen?
Wie komme ich an $\begin{eqnarray*} A_0 \end{eqnarray*}$ ?
Oder ist $\begin{eqnarray*} A_0=0 \end{eqnarray*}$ ?
Dann hätte ich $\begin{eqnarray*} A_2=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A_1=-1,5 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A_0=0 \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank!
Stephan

19.07.2009, 16:05

klarsoweit

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RE: Dgl 2. Ordnung mit Störung
Ich fürchte, so wird das nichts. Ich würde erstmal y' = u substituieren und diese DGL lösen.

19.07.2009, 16:10

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Zitat:

Original von Stevanovic
$\begin{eqnarray*} s(x)=x^2+3 \end{eqnarray*}$
--> keine Resonanz

Irrtum, es ist der Resonanzfall: $\begin{eqnarray*} x^2+3 = (x^2+3)\cdot e^{0x} \end{eqnarray*}$

19.07.2009, 16:48

Stevanovic

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Vielen Dank!

$\begin{eqnarray*} e^{0x} \end{eqnarray*}$ ist einfache Nullstelle der homogenen Gl.
Ist mein Ansatz in diesem Fall:
$\begin{eqnarray*} y_p=x^1(b_2x^2+b_1x+b_0)e^{0x} \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} y_p=b_2x^3+b_1x^2+b_0x \end{eqnarray*}$ ?

19.07.2009, 17:02

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Ja.

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