Mehrdimensionales Newton-Verfahren

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19.07.2009, 16:35	even1009	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehrdimensionales Newton-Verfahren Hallo zusammen !! Ich habe eine Frage zum mehrdimensionalem Newton-Verfahren: Gegebenn sind folgende Funktionen: f1(x1,x2) =x1+1,303*lnx1-(x2)²=0 f2(x1,x2)=2(x1)²-x1x2-5x1+1=0 Nun soll ein guter Startvektor bestimmt werden. als vorgabe habe ich 1. f1=0 P1 = ( 1,4 ; -1,5 ) 2. f2=0 P2=( 3,4 ; 2,2 ) wobei Punkt P2 gewählt wird. Jetzt weiss ich leider nicht, wie man auf diese Werte für P1 und P2 kommt. Könnte mir bitte vielleicht jemand weiter helfen? wäre wirklich sehr dankbar, weil ich bereits wirklich sehr verzweifelt bin
19.07.2009, 17:08	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionales Newton-Verfahren Ich verstehe deine Angaben nicht. Denn so sind das Nullfunktionen.... Nicht eher so: $\begin{eqnarray} f: (x_1,x_2) \to \begin{pmatrix} f_1(x_1,x_2) \\ f_2(x_1,x_2)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_1(x_1,x_2) =x_1+1.303 \cdot \ln(x_1)-(x_2)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_2(x_1,x_2)=2(x_1)^2-x_1x_2-5x_1+1 \end{eqnarray}$
19.07.2009, 18:31	even1009	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionales Newton-Verfahren Hallo tigerbine ! Danke, dass du so schnell auf meine Frage reagiert hast. Also, das beispiel, dass ich durchrechne ist so vorgegeben, wie ich es abgetippt habe. Aber inzwischen, glaube ich , dass deine Version richtig ist. Ich weiss aber leider trotzdem nicht, wie man auf die Punkte P1 und P2 kommt. hast du da vielleicht eine Idee?
19.07.2009, 18:48	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionales Newton-Verfahren Es wundert mich, dass 2 Startpunkte gegeben sind. Für meine Version brauche ich nur einen. Kriterum für den ist, dass er hoffentlich nahe bei der Lösung ist. Kann ich aber nicht wirklich prüfen. Aber ich muss sicherstellen, dass die Jacobi-Matrix dort regulär ist. Ist das denn nur ein Beipsiel oder sind das bei dir 2 Beispiele? Wie wurde denn weiter verfahren?
19.07.2009, 19:54	even1009	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionales Newton-Verfahren Also zuert wurde die Jacobi-Matrix aufgestellt, anschliessend die Werte von P2 in die Jacobi-M. eingesetzt.danach die werte xon P2 in f1 und f2 eingestzt . zum schluss wurde die Jacobi-Matrix mit den eingestzten werten mit einem gesuchten vektor multipliziert und diesem gleichgesetz. das ganze sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1,3822 & - 4,4 \\ 6,4 & -3,4\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0,1544 \\ -0,36 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . und , man soll aus den gegebenen zwei Punkten die bessere auswählen.Hmmm , ich hoffe, dass ich es einigermassen erkären konnte
19.07.2009, 20:04	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionales Newton-Verfahren Jacobi ist schon da? Poste bitte die komplette Aufgabe im Originalwortlaut oder hänge sie als Scan an.
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19.07.2009, 20:23	even1009	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionales Newton-Verfahren so, ich habe es mal hoch geladen. ich hoffe, dass es nun klappt
19.07.2009, 20:35	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionales Newton-Verfahren Danke. Das muss ich mir erstmal in Ruhe zu Gemüte führen. Hätte ja nicht geschadet, wenn die bei ihrer Lösung mal geschrieben hätten, was sie eigentlich berechnen wollen. Anscheinend doch das was ich sagte. Denn es soll ja wohl ein Punkt (x,y) gefunden werden, der beide Nullstelle von beiden Funktionen ist... Anscheinend wurde es dann als gut angesehen, in einer Nullstelle einer Funktion zu starten. Die Bezeichnung P1 und P2 verstehe ich nicht. Im Bild sind das P1 und P2 schon die Lösungen (?) Oder wurden die Lösungen da nur geschätzt. Ehrlich nervt mich dieser Aufschrieb. Motivation der Skizze ist wohl, nicht mehrdimensional zuplotten, sondern in 2D das Problem auszudrücken. Daher also die xy Paare wo f1 bzw f2 gleich 0 sind. Schnittpunkt ist dann eine Lösung. Also: Setze mal P1 und P2 ein. Kommt da (0,0) raus?
19.07.2009, 20:39	even1009	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionales Newton-Verfahren Hallo tigerbine vielen DAnk erst einmal für deine Hilfe. Ich werde morgen diese Aufgabe mal mit dem Prof. noch mal durchgehen, denke ich. ist doch etwas chaotisch. DAnn werde ich dir bescheid geben, was das ganze soll, oki? LG even
19.07.2009, 20:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionales Newton-Verfahren Alles klar.
28.07.2009, 19:57	Ch. P.	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das Ziel des mehrdimensionalen Newton-Verfahrens ist die Berechnung von Nullstellen einer Funktion, die in einen Reellen Vektorraum abbildet, der größere Dimension als 1 hat (hier 2). Die Nullstellen solcher Funktionen werden Komponentenweise berechnet, d. h. alle definierenden Funktionen müssen gleichzeitig Null sein. Dazu bestimmt man jeweils die Nullstellenlösungen der einzelnen Funktionen und setzt diese wengen dann gleich und schaut, welche Vektoren im Schnitt liegen. Zumeist zieht man dafür eine Skizze heran, in die man die Lösungskurven einzeichnet und die Schnittpunkte mit hinreichender Genauigkeit abliest Für gewöhnlich gibt es mehr als einen solcher Schnittpunkte, sodass man sich dann entscheiden muss, welchen man nimmt (also wenn man nur eine Nullstelle berechnen will). Hier hat man sich eben einfach mal für den Punkt P2 entschieden. Und dann beginnt die ganz normale Newton-Iteration, eben mit der Inversen der Jacobi-Matrix an der Stelle P2 für das Teilen durch die Ableitung der Funktion. Und mehr wurde hier nicht gemacht.
28.07.2009, 20:04	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Rückmeldung.

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