Nullraum einer Matrix (lineare Abbildung) und Normalform -- Probleme

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Mark86 Auf diesen Beitrag antworten »
Nullraum einer Matrix (lineare Abbildung) und Normalform -- Probleme
Hallo miteinander,

ich habe eine kurze Frage zur Bestimmung des Nullraumes einer Matrix mittels Normalform.

Uns ist folgende lineare Abbildung im Raum der 2x2-Matrizen gegeben:



Eine Aufgabe ist nun: Bestimme Ker .

Wenn ich von nun die Abbildungsmatrix aufstelle, sieht die doch so aus (Matrizen jeweils als Spaltenvektor dargestellt, linke Matrix aus Formel oben wird dann rechts dran multipliziert):

Jetzt habe ich ein Problem: Bei uns in der Vorlesung wurde die Normalform so definiert: - also muss unterhalb der Einheitsmatrix nur 0 stehen und ab dem "Ende" der Einheitsmatrix auf der rechten Seite unterhalb des beliebigen Bereiches auch nur 0en. Wenn ich die Matrix auf folgende Form umforme (Zeilen 1 und 2 vertauschen, danach 2 und 4, dann 2 mit -1 multiplizieren): und dann die 2x2-Untermatrix als "Einheitsmatrix" definiere, dann kann ich korrekt die Lösung auf der rechten Seite ablesen: . Was ja auch richtig ist, weil c ja keinen Einfluss auf die Abbildung hat.

Das Problem ist: Das ist nach unserer Definition keine Normalform und ich kann die Lösung eigentlich "dem Skript nach" gar nicht ablesen, weil unterhalb meines beliebigen Bereichs in der 4. Spalte ja eine 1 steht. Aber wenn ich das Ding weiter umforme in eine Normalform, dann sieht die Matrix so aus (Nullzeile weggelassen): - wenn ich da jetzt die Lösung ablese, gibts aber selbst mit dem Rückgängimachen der Spaltenvertauschungen durch Zeilenvertauschungen des abgelesenen Lösungsvektors halt nur die triviale Lösung... Das Verfahren habe ich für eine andere Matrix, die praktisch "dichter" gefüllt war (weniger 0en) erfolgreich durchgeführt, nur hier geht das nicht...

Ich habe so das Gefühl, dass der Ansatz, nur auf die 2x2-Einheitsmatrix umzuformen, besser ist, weiß aber partout nicht, weshalb mein weiteres Vorgehen falsch ist...


Wenn mir jemand von euch meine Denkblockade lösen könnte, wär ich sehr dankbar!


Schöne Grüße
Mark

Edit: Tippfehler im Titel korrigiert. Gruß, Reksilat.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullraum einer Matrix (lieare Abbildung) und Normalform -- Probleme
Ich mag nun in einem Schnellschuß irren. Aber sieht man aufgrund der Abbildungsvorschrift den Kern nicht einfach?

Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub nicht, dass du irrst. Tigerbine hat Recht!
Mark86 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, vielen Dank für die schnelle Antwort!

Natürlich habt ihr Recht, dass man den Kern schnell sieht. Es ging mir aber hier um das Prinzip des Ablesens einer Lösung aus der Normalform, welches irgendwie meiner Meinung nach mit unserer Definition (s.o.) hier nicht echt hin haut; zumindest ist da außer der trivialen Lösung nichts sichtbar...
Mark86 Auf diesen Beitrag antworten »

Falls noch einer eine Idee haben sollte, würde ich mich freuen, wenn er/sie noch was hierzu sagen würde. Wie gesagt: Der Nullraum ist zwar direkt ersichtlich, aber aus der Normalform der Matrix nach unserer Definition nicht ablesbar...


Schöne Grüße
Mark
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mark,

Das Vertauschen von Spalten muss erlaubt sei, man sollte es sich nur genau merken, damit man beim Aufschreiben der Lösung nichts vergisst. Wenn Du hier die dritte und die vierte Spalte vertauschst, musst Du am Ende eben den dritten und den vierten Eintrag in den Vektoren des Nullraums zurücktauschen.

Gruß,
Reksilat.
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullraum einer Matrix (lieare Abbildung) und Normalform -- Probleme
Zitat:
Original von Mark86
Jetzt habe ich ein Problem: Bei uns in der Vorlesung wurde die Normalform so definiert:


Eine solche "Normalform" bekommst du im allgemeinen nur hin, wenn du zwei Basen verwendest. Du brauchst also zwei Basen A und B, so dass deine Normalform hat. Viel Spaß dabei... Teufel
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullraum einer Matrix (lieare Abbildung) und Normalform -- Probleme
@WebFritzi: Das wird hier doch gar nicht benötigt. Man macht eigentlich nur den Gauß, indem man die Matrix von links mit regulären Matritzen multipliziert und so auf die Normalform kommt. Der Kern bleibt also gleich.
Man verändert also nur die Basis für den Bildraum und dort sieht die Null in jeder Basisdarstellung gleich aus.

Ursprüngliches Problem:

Gauß liefert reguläre Matrix , mit in Normalform.

Nun ist


Gruß,
Reksilat.

Edit: Wobei natürlich nur bis auf Spaltenpermutation Normalform hat.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullraum einer Matrix (lieare Abbildung) und Normalform -- Probleme
Zitat:
Original von Reksilat
Gauß liefert reguläre Matrix , mit in Normalform.

Nun ist


Sicher? Meiner Meinung nach geht das nicht, da man auch Spaltenumformungen machen muss, um auf die Normalform zu kommen. Also braucht man Matrizen M und N, so dass MAN auf Normalform ist.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullraum einer Matrix (lieare Abbildung) und Normalform -- Probleme
Deswegen ja mein Edit. Man benötigt aber nur Spaltenvertauschungen und diese lassen sich am Ende recht gut wieder rückgängig machen.

Das heißt, man löst das System in Normalform und der Nullraum ist dann die Lösung des nahezu trivialen Systems .
(N ist nur eine Permutationsmatrix)
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Was machst du denn bei der Matrix



verwirrt
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Matrix hat bereits die oben angeführte Normalform:
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

LooooL, ich habe die ganze Zeit eine Null statt dem Stern gelesen. Ich sollte auch mal zum Augenarzt. Augenzwinkern Sorry. böse Hammer
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, dass Du nur Deinen Beitragszähler pushen wolltest! Big Laugh
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Erwischt. traurig Das ist mir eh das Wichtigste hier. Wenn du mir Unendlich als Zähler hinschreibst (oder ), dann werde ich keinen Beitrag mehr posten. Kannst du das als Moderator? Augenzwinkern
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Mehr ging leider nicht:
[attach]10951[/attach]

Du kannst Dir aber selbst "Hat den Längsten" als Benutzertitel verpassen - erfüllt den gleichen Zweck.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh
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