Matrixnorm, Maximum

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Vegetable Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixnorm, Maximum
Hallo zusammen,

habe ein Brett vorm Kopf, was die Anwendung der Maximumsnorm auf eine Matrix betrifft. Wär nett, wenn mir mal jemand an einer konkreten 3x3 Matrix zeigen könnte, wie man das Maximum direkt ausrechnet.

Die Vorschrift als Bild: [attach]10949[/attach]

Danke schonmal smile

Edit: Bild als JPG angehängt - wird dann direkt angezeigt Augenzwinkern . Gruß, Reksilat.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Möglichkeit für eine Matrix A ist



zu zeigen und dann einen Vektor x mit Norm 1 zu finden so dass gilt. Dann ist a die entsprechende Matrixnorm von A. Als Beispiel :



dann ist für die 2-Norm



Nun mit x = e_3 folgt , damit hat A die Norm 2 (bezüglich 2-Norm). Dies hat mir zumindest schon oft geholfen. Ansonsten gibt es noch schöne Sachen wie Zeilensummennorm, also



Abhängig davon welche Norm Du hast lässt es sich einfach berechnen. Hier gibt es eine kleine übersicht einiger Matrixnormen.
Vegetable Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die schnelle Antwort.

Also bedeutet es, pragmatisch gesprochen, dass ich einfach alle Einträge der Matrix addiere (muss ich nicht den Betrag addieren? bei dir stehen um (A_ii x_i) keine Betragsstriche?), daraus die Quadratwurzel ziehe und diese Wurzel dann meine Matrixnorm ist?


Ich musste mit dieser Norm ungehen, da ich die Konditionszahl einer Matrix ausrechnen sollte. Diese gehorcht dem Zusammenhang:

Norm(A)*Norm(A^-1)=K(A),

also die Norm der Matrix multipliziert mit der Norm ihres Inversen. Nun kam ich aber merkwürdigerweise bei A auf die gleiche Norm, wie bei ihrem Inversen. Ist das immer so, oder nur ein Zufall?

Die Aufgabe:


Ist das richtig?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Vegetable,

Zitat:
Also bedeutet es, pragmatisch gesprochen, dass ich einfach alle Einträge der Matrix addiere

Davon hat Mazze doch gar nichts geschrieben. Die durch die Maximumsnorm (eine Vektornorm!) induzierte Matrixnorm ist die Zeilensummennorm.

Diese berechnet sich, indem man nur die Beträge der Matrixeinträge betrachtet und dann schaut, welche Zeile die größte Summe hat.

Am Beispiel:


1.Zeile:
2.Zeile:
3.Zeile:

Also

Gruß,
Reksilat.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@Vegetable: Um das nochmal klarzustellen: Es gibt nicht die Matrixnorm, sondern unendlich viele Matrixnormen. Darunter gibt es die von Vektornormen induzierten Matrixnormen. Diese sind so definiert wie es in deinem geposteten Bild steht. Da es unendlich viele Vektornormen gibt, gibt es auch unendlich viele induzierte Matrixnormen. Und jede dieser Matrixnormen ist abhängig von der Vektornorm, durch die sie induziert ist.

Nimmst du die von der Maximums-Vektornorm



induzierte Matrixnorm, dann ist das gerade die von Reksilat genannte und erklärte Zeilensummen-Matrixnorm. Aber wie gesagt kommt es auf die Vektornorm an, wie die induzierte Matrixnorm berechnet wird.
Vegetable Auf diesen Beitrag antworten »

liebsten Dank für die Antworten. Habs verstanden. smile
 
 
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