Beweise mittels Induktion [War: Eventueller Bedarf von Korrektur]

20.07.2009, 00:01

Bakatan

Beweise mittels Induktion [War: Eventueller Bedarf von Korrektur]

Ich bin gerade dabei, alle in meinen Augen sinnvollen Übungsaufgaben eines Lehrbuches durch zu rechnen und aufzuschreiben. Dies mache ich vor allem, da aus Gründen der Einfachheit und des Platzbedarfes etc sich keine Lösungen in dem Buch befinden. Gerade deshalb hätte ich jedoch bei den Lösungen gerne ein kleines "ok" oder eben Korrekturen, falls es nicht mit der nötigen mathematischen strenge vollbracht wurde oder Ich Fälle übersehen habe. Vieles davon mag trivial erscheinen, aber gerade bei so etwas wie dem ersten Beispiel ist es wichtig, nicht aus Versehen etwas anderes als die Definition zu verwenden.

Ich hoffe ich schaffe es möglichst schnell die ersten paar Hundert Seiten und ihre ( weniger an der Zahl ) Übungsaufgaben zu schaffen, damit es etwas interessanter wird Augenzwinkern

Ich werde wohl dementsprechend immer mal wieder in diesem Beitrag etwas hinzufügen.
PS: Aufgaben aus: "Mathematik für Physiker I" von Helmut Fischer und Helmut Kaul.
PPS: Ich hoffe ich verstoße mit so etwas nicht gegen irgendeine Forumsregel.

Mit Induktion:
$\begin{eqnarray*} zZ.:~a^{m+n}=a^m*a^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Für n=1: }a^{m+1}\overset{\text{def}}{=}a^m*a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Für n+1: }a^{m+n+1}\overset{\text{def}}{=}a^{m+n}*a\overset{\text{I.A.}}{=}a^m*a^n*a\overset{\text{def}}{=}a^m*a^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} zZ:~(a^m)^n=a^{m*n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Für n=1 offensichtlich} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^{m*(n+1)}=a^{m*n+m}\overset{\text{siehe oben}}{=}a^{m*n}*a^m\overset{\text{I.A.}}{=}(a^m)^n*a^m\overset{\text{def}}{=}(a^m)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Bei der nächsten Aufgabe gibt es etwas Probleme. Es soll ebenfalls mit Induktion die geometrische Summenformel bewiesen werden. Irgendwie komme ich aber direkt auf:
$\begin{eqnarray*} (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}(a^kb^{n-1-k})=a\sum_{k=0}^{n-1}(a^kb^{n-1-k})-b\sum_{k=0}^{n-1}(a^kb^{n-1-k})= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^n+\sum_{k=0}^{n-2}(a^{k+1}b^{n-1-k})-b^n-\sum_{k=1}^{n-1}(a^kb^{n-k})=a^n-b^n+\left(\sum_{k=0}^{n-2}(a^{k+1}b^{n-1-k})-\sum_{k=0}^{n-2}(a^{k+1}b^{n-1-k})\right)=a^n-b^n \end{eqnarray*}$

Und sollte dabei eigentlich nichts verwendet haben, was erst gezeigt werden soll. Es werden schließlich lediglich einzelne Terme aus den Summen herausgenommen und die Grenzen angepasst bzw a oder b hinein multipliziert und dementsprechend die Grenzen angepasst...

edit: Hehe ok es steht etwas weiter unten, dass die Formel auch auf eine solche Weise einsehbar ist. Aber wie geht es denn nun mit Induktion?

Edit (mY+): Titel modifiziert. Bitte die fachliche Relevanz des Titels zu der gestellten Frage herstellen.

20.07.2009, 08:36

klarsoweit

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RE: Eventueller Bedarf von Korrektur

Zitat:

Original von Bakatan
Es soll ebenfalls mit Induktion die geometrische Summenformel bewiesen werden.

Dann würde ich erstmal die zu beweisende Formel mal hinschreiben, damit man überhaupt weiß, worum es geht.

20.07.2009, 13:19

Bakatan

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Entschuldigung. Ich hatte angenommen, man könnte dies aus den beiden Enden der Rechnung erschließen. Es handelt sich um die Formel:
$\begin{eqnarray*} a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}(a^kb^{n-1-k}) \end{eqnarray*}$

Ich hänge gleich mal das nächste an:
$\begin{eqnarray*} zZ.:~\left|\sum_{k=1}^na_k\right|\leq\sum_{k=1}^n|a_k| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Für n=1 offensichtlich} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Für n+1: }\left|\sum_{k=1}^{n+1}a_k\right|=\left|\sum_{k=1}^n(a_k)+a_{n+1}\right|\overset{\text{Dreiecksungl.}}{\leq}\left|\sum_{k=1}^na_k\right|+|a_{n+1}|\overset{\text{I.A.}}{\leq}\sum_{k=1}^n|a_k|+|a_{n+1}|=\sum_{k=1}^{n+1}|a_k| \end{eqnarray*}$

20.07.2009, 14:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bakatan
Entschuldigung. Ich hatte angenommen, man könnte dies aus den beiden Enden der Rechnung erschließen. Es handelt sich um die Formel:
$\begin{eqnarray*} a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}(a^kb^{n-1-k}) \end{eqnarray*}$

OK. Und jetzt den Induktionsschritt.

20.07.2009, 16:43

Bakatan

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Ich kann es natürlich einfach für n=1 zeigen und dann für n+1. Allerdings benötige ich dafür nirgendwo die Induktions-Annahme, dass es für n bereits gilt. Dann gehe ich sofort zurück und will es einfach auf dem direkten Weg beweisen, was schließlich scheinbar auch möglich ist. Ich verstehe nicht ganz, in wie weit ich nun einfach umformen darf, wenn es per Induktion sein soll.

PS: Das nächste Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} M\subset R;~\text{Ist M nach oben/unten beschränkt? Falls ja, geben sie supM bzw infM an. Hat M ein Maximum/Minimum? [Frage leicht verkürzt]} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{1. }M=\{1-\frac{1}{n}|n\in N\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n}\leq 1;~\forall r<1~\exists n>\frac{1}{1-r}:1-\frac{1}{n}>r~\Rightarrow~supM=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq 1-\frac{1}{n};~\forall r>0:1-\frac{1}{1}=0<r~\Rightarrow~infM=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{2. }M=\{(1-\frac{1}{n²})^n|n\in N\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n²}\leq 1~\Rightarrow~(1-\frac{1}{n²})^n\leq1; \text{Mit bernoullischer Ungleichung:} -\frac{1}{n²}\geq -1; (1-\frac{1}{n²})^n\geq 1-\frac{1}{n}~\overset{\text{Mit Hilfe von 1.}}{\Rightarrow}~supM=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n²})^n\geq 0; \forall r>0: (1-\frac{1}{1²})^1=0<r~\Rightarrow~infM=0 \end{eqnarray*}$

In beiden Fällen ist das Infimum in M und somit gleich dem Minimum.
(Zwei von sechs Aufgaben, reicht, solange ich keine Fehler gemacht habe Augenzwinkern

)

20.07.2009, 17:48

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Zitat:

Original von Bakatan
Ich kann es natürlich einfach für n=1 zeigen und dann für n+1. Allerdings benötige ich dafür nirgendwo die Induktions-Annahme, dass es für n bereits gilt. Dann gehe ich sofort zurück und will es einfach auf dem direkten Weg beweisen, was schließlich scheinbar auch möglich ist. Ich verstehe nicht ganz, in wie weit ich nun einfach umformen darf, wenn es per Induktion sein soll.

Wo ist denn jetzt das Problem? verwirrt

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} (a-b) \cdot \sum_{k=0}^n~(a^kb^{n-k}) = (a-b) \cdot (a^n + \sum_{k=0}^{n-1}~(a^kb^{n-k})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (a-b) \cdot (a^n + b \cdot \sum_{k=0}^{n-1}~(a^kb^{n-1-k})) = a^{n+1} - ba^n + b(a-b) \cdot \sum_{k=0}^{n-1}~(a^kb^{n-1-k}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overset{I.A.}{=} a^{n+1} - ba^n + b \cdot (a^n-b^n) = ... \end{eqnarray*}$

Das andere mit Supremum und Infimum ist ok.

21.07.2009, 18:42

Bakatan

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Danke! Eine kurze Frage dazu noch: Zählt die in meinem ersten Post beschriebene Methode als Beweis der Formel? Eventuell komme ich an eben jene Grenzen, weswegen die Induktion so praktisch ist, die Frage nach dem Verhalten im Unendlichen. Ich bin mir nicht vollkommen sicher, ob, solange ich diese Umordnungen verwende, es für alle n aus N bewiesen ist.

Und hier das nächste:
( Thema Vergleichskriterium )
$\begin{eqnarray*} zZ.: a_n\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{1. }\frac{n²-1}{(n²+1)*\sqrt{n}}< \frac{n²}{n²*\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{2. }\frac{1}{\sqrt{\sqrt{n}}};~n_{\epsilon}:=\frac{1}{\epsilon^4}\Rightarrow~\forall n>n_{\epsilon}:\frac{1}{\sqrt{\sqrt{n}}}<\frac{1}{\sqrt{\sqrt{n_{\epsilon}}}}=\epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{3. }\frac{n²+n+1}{n³+4n²+5}<\frac{n²+n+1}{n³}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n²}+\frac{1}{n³}<\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}=\frac{3}{n}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$
Hat sogar etwas gedauert bei 3., "schmeiss alles was stört per Kleiner-Zeichen weg" ist nicht so mein Ding Augenzwinkern

Hoffe es stimmt!

22.07.2009, 01:06

mYthos

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Dein Titel - welcher keinerlei Relevanz zu der gestellten Aufgabe zeitigte - wurde geändert. Bitte beachte künftig, dass der Titel das Thema kennzeichnen soll.

Überdies hoffe ich nicht, dass du in diesem Thread die nächsten hundert Seiten deiner Beispiele unterbringen willst!! Andernfalls wäre die Moderation veranlasst, diesen Thread entsprechend zu teilen. Hier gilt (im Sinne der Übersichtlichkeit und Klarheit): Für eine neue Aufgabe eröffne bitte auch ein neues Thema!

mY+

22.07.2009, 08:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bakatan
Danke! Eine kurze Frage dazu noch: Zählt die in meinem ersten Post beschriebene Methode als Beweis der Formel? Eventuell komme ich an eben jene Grenzen, weswegen die Induktion so praktisch ist, die Frage nach dem Verhalten im Unendlichen. Ich bin mir nicht vollkommen sicher, ob, solange ich diese Umordnungen verwende, es für alle n aus N bewiesen ist.

Dein Beweis ohne vollständige Induktion ist auch ok. Manchmal kann man eben verschiedene Beweismethoden verwenden. Das ganze hat auch nichts mit "Verhalten im Unendlichen" zu tun. Auch wenn du 498562436509231980135798546984369851 Summanden hast, sind es immer noch endlich viele Summanden und du kannst ohne Probleme die üblichen Rechenregeln verwenden. Augenzwinkern

Die Überlegungen zu den Grenzwerten sind prinzipiell richtig. Allerdings solltest du auch jedesmal zeigen, daß a_n >= 0 ist für alle n, wobei endlich viele Ausnahmen erlaubt sind.

22.07.2009, 12:41

Bakatan

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Original von Bakatan:

Zitat:

PPS: Ich hoffe ich verstoße mit so etwas nicht gegen irgendeine Forumsregel.

Original von mYthos:

Zitat:

[...]Hier gilt (im Sinne der Übersichtlichkeit und Klarheit): Für eine neue Aufgabe eröffne bitte auch ein neues Thema!

Gern! Es ist jedoch etwas ungewohnt für mich. Es ist das erste Forum, in dem Doppel- wenn nicht sogar Dreifachposts normal, ja sogar aufgrund der 15min-edit Regel so vorgesehen sind. Jedes mal für jede Aufgabe einen neuen Thread zu erzeugen ist auch relativ ungewohnt für mich. Da die meisten dieser Übungsaufgaben direkt an den gerade im Buch beschriebenen Stoff anlehnen werden vermutlich auch relativ viele nur Korrektur in der Präzision der Formulierung benötigen. Es gilt "lediglich" zu verhindern, dass sich irgendwo ein Fehler einschleicht, den ich nie bemerken würde. Zusätzlich habe ich meiner Meinung nach immer noch die "Ist doch irgendwie klar, wird schon passen" Mentalität, weswegen ich gerne kritischen Blicken ausgesetzt bin, welche sich über eben "nicht ganz so korrekte" Formulierungen beschweren.
Eben im Sinne von
Original von klarsoweit:

Zitat:

[...]Allerdings solltest du auch jedesmal zeigen, daß a_n >= 0 ist für alle n, wobei endlich viele Ausnahmen erlaubt sind.

Ich werde versuchen, seperate Threads zu erstellen, jedoch möglichst viele thematisch zusammenhängende Aufgaben in je einem unter zu bringen. Für wirklich jede Aufgabe einen neuen Thread zu erstellen kann meines Erachtens nicht wirklich im Sinne der Moderatoren sein.

PS: Wie ursprünglich erwähnt und hier zitiert: Ich hoffe eben, dass dies in diesem Forum ok ist. Eine andere Stelle um diese Aufgaben kurz ansehen zu lassen fällt mir nicht ein. Wenn es wirklich nicht geht, werde ich alle Aufgaben, bei denen ich *meine* sie seien so ok, rauslassen. Eventuelle Fehler würde ich dann aber nicht sehen.

22.07.2009, 12:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bakatan
Ich werde versuchen, seperate Threads zu erstellen, jedoch möglichst viele thematisch zusammenhängende Aufgaben in je einem unter zu bringen. Für wirklich jede Aufgabe einen neuen Thread zu erstellen kann meines Erachtens nicht wirklich im Sinne der Moderatoren sein.

Das sehe ich auch so.

Zitat:

Original von Bakatan
PS: Wie ursprünglich erwähnt und hier zitiert: Ich hoffe eben, dass dies in diesem Forum ok ist. Eine andere Stelle um diese Aufgaben kurz ansehen zu lassen fällt mir nicht ein. Wenn es wirklich nicht geht, werde ich alle Aufgaben, bei denen ich *meine* sie seien so ok, rauslassen. Eventuelle Fehler würde ich dann aber nicht sehen.

Poste ruhig, wie du meinst. Ich werde das dann schon zurecht biegen. Schließlich bin ich ja auch im Schul-Analysis-Bereich einer der Moderatoren. Augenzwinkern

23.07.2009, 12:58

mYthos

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@klarsoweit

Wenn die nächsten 100 Seiten hier in einem Thread abgehandelt werden sollten, bin ich damit nicht einverstanden.

Im Übrigen wünsche ich viel Vergnügen beim Zurechtbiegen.

Ich verstehe nicht, weshalb du dem Threadsteller in dieser Situation Recht gibst.

Aber ab jetzt ist es dein Thread. Ich werde auf Threads dieses Users nicht mehr eingehen.

mY+

23.07.2009, 17:26

Bakatan

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Original von Bakatan:

Zitat:

Original von mYthos:

Zitat:

[...]Ich werde auf Threads dieses Users nicht mehr eingehen.

Ich habe angeboten, alle Aufgaben bei denen ich der Meinung bin sie seien so ungefähr ok raus zu lassen. Ich wollte vermeiden, drei Threads hintereinander zu erstellen, da es in den meisten Foren als flooding oder spam interpretiert wird. Wie es scheint hat allerdings allein dieser Test schon gereicht, damit bekannte Forenuser mich nicht mehr leiden können.
Ich denke es war mein Fehler zu versuchen das Board über zu strapazieren, indem ich für so viele Übungsaufgaben aus einem Buch eine kurze Korrektur wollte.
Ich werde dementsprechend versuchen, nur noch im Falle totalen Unverständnisses einer Aufgabe um Rat zu fragen.
Ich möchte mich hiermit für den Versuch entschuldigen. Ich hoffe, es ist dafür noch nicht zu spät. Gott

@klarsoweit: Danke für das Angebot. Ich beabsichtige allerdings nicht, Probleme zwischen Moderatoren zu verursachen, von denen ich die zukünftige Entwicklung nicht überschauen kann. Folglich versuche ich wohl lieber, ab und zu die wirklich wichtigen Fragen hier beantwortet zu bekommen, als öfters meine allgemeine Sicherheit mit einzelnen Themas zu verbessern, da ich bei zweiterem zu viele Posts bzw Threads benötige.

Mit freundlichen Grüßen,
Bakatan

24.07.2009, 14:53

mYthos

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Zitat:

Original von Bakatan
...
Original von mYthos:

Zitat:

[...]Ich werde auf Threads dieses Users nicht mehr eingehen.

...

Hallo,

es war von mir nicht beabsichtigt, dass dir Nachteile infolge meiner Differenz mit klarsoweit entstehen. Denn du hast dich durchaus kooperativ gezeigt und daher würde ich dir weiterhin helfen, soferne ich kann. Es entspricht auch sicher nicht den Tatsachen, dass dich bestimmte Forenuser nicht leiden können, da bist du garantiert im Irrtum.
Das Board lebt nicht von den Regeln, sondern wir sehen das Forum in erster Linie als Hilfe-Plattform, die dem User nützen sollen. Die Boardregeln sollen dabei nur einen geordneten Ablauf sicherstellen, das ist alles. Also fühle dich weiterhin frei, Fragen und Probleme hier zur Diskussion zu stellen, dafür ist es nie zu spät.

MfG
mY+

Im übrigen hast du auch eine PN.

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