drehachse & drehwinkel

20.07.2009, 23:27

jeromel

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drehachse & drehwinkel

hi erstmal...
hab mal 'ne frage zur drehachse und drehwinkel...

und zwar folgende angabe

Matrix D = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Basis b1 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b2 = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b3 = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Matrix D ist in der Basis b1b2b3 dargestellt und führt eine Drehung aus.
a) Geben Sie Drehachse und Drehwinkel an.

leider habe ich keinen Plan wie ich vorgehen muss um hier die Drehachse oder Drehwinkel zu bestimmen...wäre froh über eure Hilfe

mfg

21.07.2009, 00:22

WebFritzi

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Die Drehachse ist eine Fixgerade von D - genauer sogar eine Gerade von Fixpunkten.

21.07.2009, 08:41

jeromel

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ja ok...fixgerade mit der formel ax+b...

aber wie hilft mir das die drehachse oder drehwinkel zu bestimmen :S

21.07.2009, 11:04

Reksilat

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Die Fixgerade ist hier eine Gerade durch den Nullpunkt und eine solche entspricht nunmal einem Unterraum $\begin{eqnarray*} <v> \end{eqnarray*}$ , der von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ festgelassen wird.

Wenn Du nun mit $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ eine Orthonormalbasis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ bildest, so hat die Matrix eine Gestalt, wie so hier angegeben ist und der Drehwinkel lässt sich quasi direkt ablesen.

Gruß,
Reksilat.

21.07.2009, 13:13

jeromel

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danke erstmal...also die drehmatrizen waren mir schon bekannt und ich verstehe auch wie man aus einer solchen Drehmatrix herausfinden kann welche Achse die Drehachse ist, jedoch weiß ich nicht wie ich aus der "normalen" Matrix D eine solche Drehmatrix kriegt...

die 3 basisvektoren bilden eine orthonormalbasis, da das skalarprodukt ja jeweils 0 ergibt...

ich hab nun folgendes gemacht, aus den 3 vektoren b1b2b3 eine matrix gebildet

B = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann hab ich Matrix D mit B multipliziert

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

ich denke jedoch leider nicht, dass diese Berechnung überhaupt notwendig ist...
sry aber was anders kann ich bis jetzt nicht vorweisen :S

21.07.2009, 13:17

Reksilat

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Mathematik ist keine Ratespielchen. - Was Du dort machst ergibt wirklich gar keinen Sinn.

Wie oben geschrieben, muss $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ einen Unterraum $\begin{eqnarray*} <v> \end{eqnarray*}$ festlassen. Schon mal was von Eigenwerten/Eigenvektoren gehört?

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21.07.2009, 13:51

jeromel

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ja...det(A- $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ E) ?
müsste doch die Formel sein um die Eigenwerte zu berechnen ?

21.07.2009, 13:53

Reksilat

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Ja, und das weißt Du auch, musst sowas also eigentlich nicht nachfragen. Letztlich sollte man den Eigenwert und einen zugehörigen Eigenvektor aber auch direkt ablesen können.

21.07.2009, 13:55

WebFritzi

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Mensch Meier: Es geht hier um Fixpunkte von D. Was gilt für einen solchen Fixpunkt?

Und als Anmerkung: Bezüglich welcher Orthogonalbasis D dargestellt ist, spielt hier keine Rolle. Du kannst so tun, als wäre D bezüglich der Standardbasis dargestellt. Die Drehgerade muss dann natürlich noch transformiert werden. Für den Drehwinkel spielt die Basis aber wirklich gar keine Rolle.

21.07.2009, 13:58

jeromel

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ja wie ich solche Dinge berechnen kann ist mir schon klar...
nur wenn ich die eine Angabe habe wie ich aus einer normalen Matrix eine Drehachse oder Drehwinkel darstellen soll, das krieg ich halt nicht hin...

ich denken bei einer solchen Angabe nicht an Eigenwert/vektor, fixgerade usw...

es tut mir leid wenn ich eure Zeit verschwende hier, aber Mathe ist halt nicht mein Gebiet

dann google ich halt weiter, vielleicht werd ich noch fündig

danke
mfg

21.07.2009, 14:07

Reksilat

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Du sollst die Lösung doch aber nicht googlen, sondern selbst finden! unglücklich

unglücklich

Als WebFritzi zwanzig war gab es schließlich noch gar kein Google und er kann solche Aufgaben trotzdem lösen.

Was ist denn das Problem daran, einen Vektor/Punkt $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$
zu finden, für den $\begin{eqnarray*} Dv=v \end{eqnarray*}$ gilt?

21.07.2009, 14:12

WebFritzi

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Zitat:

Original von Reksilat
Als WebFritzi zwanzig war gab es schließlich noch gar kein Google und er kann solche Aufgaben trotzdem lösen.

Nun mach mal halblang. Altavista gab es vor 13 Jahren schon! Nur bezweifle ich, dass ich fündig geworden wäre. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.07.2009, 14:15

jeromel

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dass ich die Antwort bei google nicht so finde ist mir schon klar...
aber vielleicht finde ich irgendwelche hinweise die es mir dann erleichtern es zu verstehen

naja, trotzdem danke ich euch alle für eure Mühen

mathe ist halt nichts für mich, hauptsache ich bestehe die Klausur irgendwie Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.07.2009, 14:56

WebFritzi

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Zitat:

Original von jeromel
mathe ist halt nichts für mich, hauptsache ich bestehe die Klausur irgendwie Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das wirst du nicht tun, wenn du vor allen mathematischen Problemen davonläufst. Wie wäre es, wenn du dich nun endlich mal hinsetzt und das LGS

Dx = x

löst. Das ist Schulmathematik!

21.07.2009, 15:11

jeromel

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glaub mir bitte, ich bin seit gestern abend mit dieser aufgabe beschäftigt...

Dx=x
D ist meine Matrix, nur was ist nun wieder x :$

sry für die dumme frage

21.07.2009, 15:51

Reksilat

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Wir suchen doch einen Fixpunkt, also wird x eben ein Punkt des R³ sein.
$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

21.07.2009, 16:29

jeromel

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ah ok

dann halt nur noch D*x=x ausrechnen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das scheint mir dann aber ein wenig zu einfach ?

21.07.2009, 16:49

WebFritzi

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Wo bleibt die Gleichung? Du hast jetzt nur Dx hingeschrieben. Jetzt noch: =x. Dann führst du auf der linken Seite (also bei Dx) eine Matrixmultiplikation durch und bekommst so drei Gleichungen.

21.07.2009, 16:59

jeromel

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ja, es war ja eigentlich nur die Frage ob dies nicht zu einfach ist...
die Gleichung hab ich auf dem Papier bereits gemacht

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann Dx ausmultiplizieren:

0*x1 + (-1)*x2 + 0*x3 = -x2
1*x1 + 0*x2 + 0*x3 = x1
0*x1 + 1*x2 + 0*x3 = x2

?

21.07.2009, 17:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von jeromel
Dann Dx ausmultiplizieren:

0*x1 + (-1)*x2 + 0*x3 = -x2
1*x1 + 0*x2 + 0*x3 = x1
0*x1 + 1*x2 + 0*x3 = x2

Ja, genau. Und jetzt mit der rechten Seite deiner Gleichung vergleichen.

EDIT: Nur schade, dass du die falsche Matrix für D verwendet hast. unglücklich

unglücklich

21.07.2009, 17:39

jeromel

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hab ein fehler beim schreiben der Matrix D gemacht...

es muss natürlich sein:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ausgerechnet also

0*x1 - 1*x2 + 0*x3
1*x1 + 0*x2 + 0*x3
0*x1 + 0*x2 + 1*x3

21.07.2009, 17:41

WebFritzi

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Zitat:

Original von jeromel
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wieso jetzt =0 ??? Es muss =x sein. Und jetzt berechne endlich die Lösung und furz nicht jeden kleinen Schritt hin. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Rechnen kannst du doch hoffentlich.

21.07.2009, 17:43

jeromel

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wenn ich dann mein ergebnis mit der rechten Seiten vergleiche

0*x1 - 1*x2 + 0*x3 = -x2
1*x1 + 0*x2 + 0*x3 = x1
0*x1 + 0*x2 + 1*x3 = x3

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann sieht man halt, dass bei ich anstelle von x1 aber -x2 hab, und anstelle von x2 hab ich x1

21.07.2009, 17:51

WebFritzi

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Zitat:

Original von jeromel
dann sieht man halt, dass bei ich anstelle von x1 aber -x2 hab, und anstelle von x2 hab ich x1

Son Unfug. "anstelle von"... unglücklich

unglücklich

Das ist ein lineares Gleichungssystem: -x2 = x1 und x1 = x2. Was ist die Lösung?

21.07.2009, 18:13

jeromel

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sry, glaub sitz grad voll auf der leitung

-x2 = x1
x1 = x2
x3 = x3

weiß nicht mal nach was ich auflösen muss...
die zeile x3 = x3 stimmt meiner meinung nach ja

denk dass ich nun irgendwie x1 = x1 und x2 =x2 hinkriegen muss

21.07.2009, 18:25

WebFritzi

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Die dritte Gleichung kannste vergessen. Die gilt immer! Hau bei den ersten beiden Gleichungen doch erstmal alles auf die linke Seite. Und dann geh vor, wie du immer bei linearen Gleichungssystemen vorgehst.

21.07.2009, 18:37

jeromel

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ja soweit war ich...

-x2 = x1 <=> -x2-x1 = 0 <=> -x1= x2
x1=x2 <=> x1 -x2 = 0 <=> x1 = x2

so wie ich es jetzt seh, wäre hier -x1 = x2 und x1 = x2
nur ergibt das in meinen augen auch nur wenig sinn

21.07.2009, 18:42

WebFritzi

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Zitat:

Original von jeromel
so wie ich es jetzt seh, wäre hier -x1 = x2 und x1 = x2

Das ist ja mal was ganz Neues. unglücklich

unglücklich

Das hattest du doch schon vorher. Offenbar kannst du keine LGS'e mit 2 Gleichungen und zwei Variablen lösen. Das ist Schulstoff der neunten Klasse. Ich werde dir dabei nicht weiterhelfen, da wir hier im Hochschulforum sind. Da weigere ich mich einfach. Wenn du das partout nicht lösen kannst, bitte um ein Verschieben in den Schulbereich des Forums.

21.07.2009, 18:51

jeromel

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liegt vielleicht daran, dass ich nicht in Deutschland zur Schule ging
ich studier zwar mittlerweil da, aber den rest hab ich nicht dort gemacht

bei uns war mathe halt immer auf französisch

kann dich aber verstehen...sry

21.07.2009, 18:56

jeromel

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was ich im studium gesehen habe, ist der Gauß algorithmus um LGS zu lösen
dann würde ich, wie du bereists gesagt hast, bei den beiden Gleichungen alles auf die linke seite nehmen

also

-x2 - x1 = 0
x1 -x2 = 0

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -x2 & -x1 & 0 \\ x1 & -x2 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ob ich damit aber richtig liege weiß ich nicht
tut mir leid

21.07.2009, 20:05

jeromel

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1)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 & x2 & erg \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 & x2 & erg \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 & x2 & erg \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

4)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 & x2 & erg \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

5)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 & x2 & erg \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das müsste dann der Gaußalg. sein

21.07.2009, 21:19

Reksilat

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Wenn wir in dem Tempo weitermachen, dann sind wir nächste Woche noch nicht fertig. Schläfer

Schläfer

Was ist die Lösung des Gauß?
Welche Schlüsse kann man daraus ziehen?
Was sind die Fixpunkte?
Wie sieht die Fixgerade aus?

21.07.2009, 21:23

WebFritzi

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Zitat:

Original von jeromel
5)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 & x2 & erg \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das müsste dann der Gaußalg. sein

Ja.

Nun arbeite die Punkte von Reksilat ab.

21.07.2009, 22:02

jeromel

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ja ok
danke

mfg

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