Ansatz für Differentialgleichung 2.Ordnung

21.07.2009, 11:44

DKR82

Ansatz für Differentialgleichung 2.Ordnung

Hallo...habe eine Frage zu folgender DGL

$\begin{eqnarray*} y''-y'-2y=cos(x)+3*sin(x) \end{eqnarray*}$

Als Lösung der zugehörigen homogenen DGL erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} y_h=C1*e^{2x}+C2*e^{-x} \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist jetzt, ob ich für yp die Störfunktion in einen Ansatz packen kann, also

$\begin{eqnarray*} y_p=A\cdot sin(x)+B\cdot cos(x) \end{eqnarray*}$

oder ob ich diesen Ansatz zweimal machen muss, einmal für

$\begin{eqnarray*} S1(x)=cos(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S2(x)=3*sin(x) \end{eqnarray*}$ ?!? verwirrt

Wäre nett, wenn mir da jemand kurz Auskunft geben könnte...

MFG

Danny

21.07.2009, 12:05

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Zitat:

Original von DKR82
Meine Frage ist jetzt, ob ich für yp die Störfunktion in einen Ansatz packen kann, also

$\begin{eqnarray*} y_p=A\cdot sin(x)+B\cdot cos(x) \end{eqnarray*}$

Da der Ansatz für beide Störanteile jeweils derselbe ist, reicht dieser eine gemeinsame Ansatz. Freude

21.07.2009, 12:35

DKR82

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Prima, danke für die schnelle Antwort smile

...also hätte ich dann nachdem ich yp zweimal abgeleitet und in die inhomogene DGL eingesetzt habe

$\begin{eqnarray*} sin(x)\cdot (-3A+B)+cos(x)\cdot (-3B-A) = cos(x)+3\cdot sin(x) \end{eqnarray*}$

Daraus die beiden Gleichungen um A und B zu bestimmen...

$\begin{eqnarray*} <br /> 1=-3B-A <br /> 3=-3A+B \end{eqnarray*}$

Dann komme ich auf A=-1 und B=0 und damit auf die allgemeine Lösung

$\begin{eqnarray*} Y_a=Y_h+Y_p=C1*e^{2x}+C2*e^{-x}-sin(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt war aber noch nach der speziellen Lösung für
$\begin{eqnarray*} y'(0)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$ gefragt

$\begin{eqnarray*} Y'_a=2C1*e^{2x}-C2*e^{-x}-cos(x) \end{eqnarray*}$

Daraus erhalte ich folgende Gleichungen

$\begin{eqnarray*} 1=C1+C2<br /> 2=2C1-C2 \end{eqnarray*}$

und daraus C1=1 und C2=0

Damit dann die spezielle Lösung

$\begin{eqnarray*} y_{spez}=e^{2x}-sin(x) \end{eqnarray*}$

Wäre prima, wenn jemand mal kurz drüberschauen könnte ob das soweit ok ist, denn von dieser Aufgabe hängt unter anderem der Erfolg meiner Mathe2-Klausur ab, die ich heute geschrieben habe! geschockt

MFG

Danny

21.07.2009, 13:09

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Alles vollständig richtig. Freude

Selbst in der Form sehr ansprechend - ich würde allenfalls noch die Konstanten mit Indizes versehen, also $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} C1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

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