Grenzwert

21.07.2009, 14:12

ge88

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Grenzwert

Hallo,

Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \left( \frac{1}{\sin x} \right)^{1 - \cos x} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{\sin x} \right)^{1 - \cos x} = \frac{(\sin x)^{\cos x}}{\sin x} = \exp \left( (1- \cos x) \cdot \ln \left( \frac{1}{\sin x} \right) \right) = \exp((1- \cos x) \cdot (- \ln( \sin x)) \end{eqnarray*}$

Die Umformungen helfen aber irgendwie nicht, L'Hospital auch...
Oder kann ich einfach aus

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \left( \frac{1}{\sin x} \right)^{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0+} \exp \left( (1- \cos x) \cdot \ln \left( \frac{1}{\sin x} \right) \right) \end{eqnarray*}$

folgern, dass der Grenzwert exp(0) sein soll? Wenn nicht - was kann ich machen um (ggf) den Grenzwert zu berechnen?
Danke!

21.07.2009, 14:31

Ungewiss

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Mit zweimal L'Hôpital müsste man auf einen auswertbaren Ausdruck kommen. Schreib dazu den Faktor $\begin{eqnarray*} (1-\cos(x)) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{(1-\cos(x))}} \end{eqnarray*}$

21.07.2009, 14:33

Dual Space

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RE: Grenzwert
Einmal L'Hopital reicht auch schon, wenn man es geschickt schreibt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.07.2009, 17:29

WebFritzi

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Substituiert man y = sin(x), dann gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+}\,\frac{(\sin(x))^{\cos(x)}}{\sin(x)} = \lim_{y\to 0+}\,\frac{y^{\cos(\arcsin(y))}}{y}. \end{eqnarray*}$

Weiter gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{y^{\cos(\arcsin(y))}}{y} = \frac{y^{\sqrt{1 - y^2}}} y = y^{\sqrt{1 - y^2} - 1} = e^{\left(\sqrt{1 - y^2} - 1\right)\ln(y)}. \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{y\to 0+}\,y\ln(y) = 0 \end{eqnarray*}$ (bekannter Grenzwert - z.B. mit l'Hospital berechenbar) und daher

$\begin{eqnarray*} \lim_{y\to 0+}\,(\sqrt{1 - y^2} - 1)\ln(y) = -\lim_{y\to 0+}\,\frac{y^2\ln(y)}{\sqrt{1 - y^2} + 1} = \frac 0 2 = 0 \end{eqnarray*}$

haben wir

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+}\,\frac{(\sin(x))^{\cos(x)}}{\sin(x)} = \lim_{y\to 0+}\,e^{\left(\sqrt{1 - y^2} - 1\right)\ln(y)} = e^0 = 1. \end{eqnarray*}$

21.07.2009, 19:50

ge88

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Hey, danke fuer die Antworten!
Mit L'Hospital habe ich es nicht hingekriegt (leider kein Geschick), aber ich habe die Substitution (danke, WebFritzi!) verstanden, wobei der Trick $\begin{eqnarray*} \cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)} \end{eqnarray*}$ war fuer mich neu.
Eine Bitte noch : koennte jemand zeigen, wie das auch mit L'Hospital geht? Ich versuche es seit gestern, aber es funktioniert nicht, was ziemlich aergerlich ist. Danke!

21.07.2009, 20:23

WebFritzi

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Zitat:

Original von ge88
Eine Bitte noch : koennte jemand zeigen, wie das auch mit L'Hospital geht? Ich versuche es seit gestern, aber es funktioniert nicht, was ziemlich aergerlich ist. Danke!

Nee. Schreib du erstmal hier rein, wie weit du kommst. Dann kann man dir weiterhelfen.

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21.07.2009, 20:42

ge88

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Mkay! Also seien
$\begin{eqnarray*} f(x) = (\sin x)^{\cos x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = \sin(x) \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{(\sin x)^{\cos(x)}}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0+} \frac{(\sin x)^{\cos(x)} \cdot \left( \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} - \sin(x) \cdot \log(\sin x) \right)}{\cos x} \end{eqnarray*}$

Und der Term $\begin{eqnarray*} (\sin x)^{\cos x} \end{eqnarray*}$ steht immer noch da...

21.07.2009, 21:28

WebFritzi

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von ge88
Es gilt

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{\sin x} \right)^{1 - \cos x} = \frac{(\sin x)^{\cos x}}{\sin x} = \exp \left( (1- \cos x) \cdot \ln \left( \frac{1}{\sin x} \right) \right) = \exp((1- \cos x) \cdot (- \ln( \sin x)) \end{eqnarray*}$

Richtig. Jetzt berechne den GW des Exponenten über l'Hospital. So kannst du anfangen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+}\,(1- \cos(x))\ln(\sin(x)) = \lim_{x\to 0+}\,\frac{\ln(\sin(x))}{\frac 1 {1 - \cos(x)}}. \end{eqnarray*}$

Jetzt l'Hospital.

22.07.2009, 00:09

ge88

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von WebFritzi
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+}\,(1- \cos(x))\ln(\sin(x)) = \lim_{x\to 0+}\,\frac{\ln(\sin(x))}{\frac 1 {1 - \cos(x)}}. \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \ln( \sin x ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{1 - \cos(x)} \end{eqnarray*}$

gilt vielleicht folgendes

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{\ln(\sin x)}{\frac{1}{1 - \cos x}} = \lim_{x \to 0+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0+} \frac{\cos(x) \cdot (1 - \cos x)^2}{\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$

Es ist auch

$\begin{eqnarray*} g''(x) = \frac{\cos(x) \cdot (1 - \cos x)^2 - 2 \cdot \sin^2(x) \cdot (1 - \cos x) }{(1- \cos x)^4 } \end{eqnarray*}$

Etwas stimmt nicht. Die trigonometrischen Funktionen sind verwirrend.

22.07.2009, 00:41

WebFritzi

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von ge88
gilt vielleicht folgendes

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{\ln(\sin x)}{\frac{1}{1 - \cos x}} = \lim_{x \to 0+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0+} \frac{\cos(x) \cdot (1 - \cos x)^2}{\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du entweder nochmal l'Hospital machen oder Polynomdivision mit Substitution z = cos(x). Beachte bei der zweiten Variante, dass sin²(x) = 1 - cos²(x).

22.07.2009, 17:07

ge88

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RE: Grenzwert
Wenn ich $\begin{eqnarray*} g(x) = -\frac{\sin(x)}{(1- \cos x)^2} \end{eqnarray*}$ ableite, bleibt der Ausdruck weiterhin unbestimmt.
Ich habe auch Polynomdivision probiert
Mit $\begin{eqnarray*} z := \cos(x) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) = 1 - z^2 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{ \cos(x) \cdot (1 - \cos x)^2 }{ \sin^2(x)} = \lim_{z \to 1} \frac{z \cdot (1 - z)^2}{1 - z^2} = \lim_{z \to 1} \left( 2 - z + \frac{2 z - 2}{1 - z^2} \right) \end{eqnarray*}$

Aber das stimmt irgendwie auch nicht.

22.07.2009, 17:41

WebFritzi

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von ge88
Wenn ich $\begin{eqnarray*} g(x) = -\frac{\sin(x)}{(1- \cos x)^2} \end{eqnarray*}$ ableite, bleibt der Ausdruck weiterhin unbestimmt.

Ich habe keinen blassen Schimmer, wie du auf diese Funktion kommst. Was ist denn so schwer daran, nochmal Zähler und Nenner abzuleiten?

Zitat:

Original von ge88
Ich habe auch Polynomdivision probiert
Mit $\begin{eqnarray*} z := \cos(x) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) = 1 - z^2 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{ \cos(x) \cdot (1 - \cos x)^2 }{ \sin^2(x)} = \lim_{z \to 1} \frac{z \cdot (1 - z)^2}{1 - z^2} = \lim_{z \to 1} \left( 2 - z + \frac{2 z - 2}{1 - z^2} \right) \end{eqnarray*}$

Aber das stimmt irgendwie auch nicht.

Doch, das stimmt. Gut. Wie wäre es jetzt (wiederum) mit l'Hospital (angewandt auf en Bruch)? Oder auch

$\begin{eqnarray*} \frac{2z - 2}{1-z^2} = -2\,\frac{z-1}{(z-1)(z+1)} = -\frac{2}{z+1}\,? \end{eqnarray*}$

22.07.2009, 18:13

ge88

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von ge88
Wenn ich $\begin{eqnarray*} g(x) = -\frac{\sin(x)}{(1- \cos x)^2} \end{eqnarray*}$ ableite, bleibt der Ausdruck weiterhin unbestimmt.

Ich habe keinen blassen Schimmer, wie du auf diese Funktion kommst. Was ist denn so schwer daran, nochmal Zähler und Nenner abzuleiten?

Das ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{1- \cos x} \end{eqnarray*}$ , war doof sie wieder g(x) zu nennen (sorry), das ist eigentlich g'(x).

Zitat:

Doch, das stimmt. Gut. Wie wäre es jetzt (wiederum) mit l'Hospital (angewandt auf en Bruch)? Oder auch

$\begin{eqnarray*} \frac{2z - 2}{1-z^2} = -2\,\frac{z-1}{(z-1)(z+1)} = -\frac{2}{z+1}\,? \end{eqnarray*}$

Cool! Und l'Hospital sieht, glaube ich, so aus

$\begin{eqnarray*} \lim_{z \to 1} \frac{2z - 2}{1-z^2} = \lim_{z \to 1} \frac{2}{-2z} = -1 \end{eqnarray*}$

Also insgesamt

$\begin{eqnarray*} \lim_{z \to 1} \left( 2 - z + \frac{2z - 2}{1 - z^2} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

22.07.2009, 18:17

WebFritzi

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von ge88

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von ge88
Wenn ich $\begin{eqnarray*} g(x) = -\frac{\sin(x)}{(1- \cos x)^2} \end{eqnarray*}$ ableite, bleibt der Ausdruck weiterhin unbestimmt.

Ich habe keinen blassen Schimmer, wie du auf diese Funktion kommst. Was ist denn so schwer daran, nochmal Zähler und Nenner abzuleiten?

Das ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{1- \cos x} \end{eqnarray*}$

Und wieso willst du das ableiten, wo es doch weder in Zähler noch Nenner steht? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von ge88

Zitat:

Doch, das stimmt. Gut. Wie wäre es jetzt (wiederum) mit l'Hospital (angewandt auf en Bruch)? Oder auch

$\begin{eqnarray*} \frac{2z - 2}{1-z^2} = -2\,\frac{z-1}{(z-1)(z+1)} = -\frac{2}{z+1}\,? \end{eqnarray*}$

Cool! Und l'Hospital sieht, glaube ich, so aus

$\begin{eqnarray*} \lim_{z \to 1} \frac{2z - 2}{1-z^2} = \lim_{z \to 1} \frac{2}{-2z} = -1 \end{eqnarray*}$

Also insgesamt

$\begin{eqnarray*} \lim_{z \to 1} \left( 2 - z + \frac{2z - 2}{1 - z^2} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Ja. Das hättest du aber viel leichter aus meiner letzten Zeile im letzten Post ablesen können.

22.07.2009, 18:34

ge88

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von WebFritzi
Und wieso willst du das ableiten, wo es doch weder in Zähler noch Nenner steht? verwirrt

verwirrt

Aber es gilt doch folgendes

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{\ln(\sin x)}{\frac{1}{1- \cos x}} = \lim_{x \to 0+} \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{-\frac{\sin x}{(1- \cos x)^2}} = \lim_{x \to 0+} - \frac{\cos(x) \cdot (1 - \cos x)^2}{\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$

oder nicht?

Zitat:

Das hättest du aber viel leichter aus meiner letzten Zeile im letzten Post ablesen können.

Das ist natuerlich keine Frage, aber du hast auch L'H erwaehnt, deshalb habe ich es aufgeschrieben.

22.07.2009, 18:41

WebFritzi

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von ge88

Zitat:

Original von WebFritzi
Und wieso willst du das ableiten, wo es doch weder in Zähler noch Nenner steht? verwirrt

verwirrt

Aber es gilt doch folgendes

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{\ln(\sin x)}{\frac{1}{1- \cos x}} = \lim_{x \to 0+} \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{-\frac{\sin x}{(1- \cos x)^2}} = \lim_{x \to 0+} - \frac{\cos(x) \cdot (1 - \cos x)^2}{\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$

oder nicht?

Richtig. Und jetzt musst du oben und unten ableiten, wenn du wieder LH benutzen willst. Dabei entstehen aber keine neuen Brüche.

23.07.2009, 11:08

ge88

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RE: Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} -\frac{\cos(x) \cdot (1- \cos x)^2}{\sin^2(x)} = \lim_{x \to 0+} - \left( 1 - \cos x - \frac{(1- \cos x)^2}{2 \cdot \cos x} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

So?

23.07.2009, 14:02

WebFritzi

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Ja. Wundert mich, dass du da noch nachfragst, denn das ist Schulmathe.

23.07.2009, 14:42

ge88

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Gut, dann danke fuer die Hilfe!
Und eigentlich sowas habe ich in der Schule nicht gemacht.

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