Van der Waals Gleichung

21.07.2009, 14:35

Peter Lustig

Van der Waals Gleichung

$\begin{eqnarray*} <br /> F\left(p,v,t\right) = \left(p+\right) \frac{a}{b} v^{2} \left(v-b\right) -rt = 0 \end{eqnarray*}$
mit a,b,r größer 0. Zeigen sie, dass für alle $\begin{eqnarray*} \left(p,v,t\right) \in D \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} D = \left\{ \left( p,v,t \right) \in R^{3}, V groesser b, \frac{dF}{dv}\left(p,v,t\right) \neq 0 \right\} \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{dv}{dt} \cdot \frac{dt}{dp} \cdot \frac{dp}{dv}=-1 \end{eqnarray*}$

Wie berechne ich $\begin{eqnarray*} \frac{dv}{dt} \end{eqnarray*}$ ?

21.07.2009, 14:37

Dual Space

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RE: Van der Waals Gleichung
Das sagt dir der Satz über implizite Funktionen.

21.07.2009, 14:48

Peter Lustig

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RE: Van der Waals Gleichung
also mir sagt er das nicht traurig

21.07.2009, 14:54

Dual Space

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RE: Van der Waals Gleichung
---> http://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation

21.07.2009, 15:04

Peter Lustig

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RE: Van der Waals Gleichung
aber v ist doch eine Variable. Wie leite ich denn eine Variable nach einer anderen ab?

21.07.2009, 15:15

WebFritzi

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RE: Van der Waals Gleichung

Zitat:

Original von Peter Lustig
$\begin{eqnarray*} F\left(p,v,t\right) = \left(p+\right) \frac{a}{b} v^{2} \left(v-b\right) -rt = 0 \end{eqnarray*}$
mit a,b,r größer 0. Zeigen sie, dass für alle $\begin{eqnarray*} \left(p,v,t\right) \in D \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} D = \left\{ \left( p,v,t \right) \in R^{3}, V groesser b, \frac{dF}{dv}\left(p,v,t\right) \neq 0 \right\} \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{dv}{dt} \cdot \frac{dt}{dp} \cdot \frac{dp}{dv}=-1 \end{eqnarray*}$

Wie berechne ich $\begin{eqnarray*} \frac{dv}{dt} \end{eqnarray*}$ ?

So ist die Aufgabe für mich Nonsense. Wir haben also eine Funktion

$\begin{eqnarray*} F\left(p,v,t\right) = p + \frac{a}{b} v^{2} \left(v-b\right) -rt. \end{eqnarray*}$

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial v}(p,v,t) = \frac{3a} b v^2 - 2av. \end{eqnarray*}$

Das ist Null genau dann, wenn v = 0 oder v = (2/3)b. Da b > 0 ist, folgt

$\begin{eqnarray*} D = \{(p,v,t) : v > b\}. \end{eqnarray*}$

Und was soll nun dv/dt sein? Das macht keinen Sinn. Irgendwie muss hier noch F = 0 mit eingebracht werden in D. Das sehe ich aber nicht.

21.07.2009, 15:21

Peter Lustig

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RE: Van der Waals Gleichung
so stehts auf meiner Angabe. Ich versteh's leider auch nicht.

21.07.2009, 16:51

Peter Lustig

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RE: Van der Waals Gleichung
@ Webfritzi

Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{dv}{dt} \cdot \frac{dt}{dp} \cdot \frac{dp}{dv}=-1 \end{eqnarray*}$ gilt. Was auch immer $\begin{eqnarray*} \frac{dv}{dt} \end{eqnarray*}$ sein soll.

21.07.2009, 16:54

WebFritzi

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Du brauchst dich nicht zu wiederholen.

21.07.2009, 18:45

Huggy

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RE: Van der Waals Gleichung
Meiner Erinnerung nach hat diese Aufgabe gar nichts mit der speziellen obigen Gleichung zu tun. Man kann ganz allgemein zeigen, wenn eine Beziehung

$\begin{eqnarray*} f(x, y, z)=0 \end{eqnarray*}$

gegeben ist, die sich innerhalb eines Gebietes nach x, y und z auflösen lässt, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )_y \left ( \frac{\partial x}{\partial y} \right )_z \left ( \frac{\partial y}{\partial z} \right )_x = -1 \end{eqnarray*}$

Dabei ist zur Verdeutlichung die bei der partiellen Ableitung jeweils konstant gehaltene Größe als Index an die Klammer geschrieben.

Sei

(*) $\begin{eqnarray*} z=g(x, y) \end{eqnarray*}$

die nach z aufgelöste Gleichung. Dann hat man:

$\begin{eqnarray*} \left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )_y = g_x \end{eqnarray*}$

Leitet man (*) bei konstantem z nach y ab, ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} 0=g_y+g_x \left ( \frac{\partial x}{\partial y} \right )_z \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \left ( \frac{\partial x}{\partial y} \right )_z =-\frac{g_y}{g_x} \end{eqnarray*}$

Und schließlich ist

$\begin{eqnarray*} \left ( \frac{\partial y}{\partial z} \right )_x=\frac{1}{\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )_x}=\frac{1}{g_y} \end{eqnarray*}$

Multipliziert man das aus, ergibt sich die Behauptung. Ich nehme an, Dual Space hat bei seinem Hinweis so etwa im Sinn.

21.07.2009, 19:47

WebFritzi

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Mich befriedigt dieses Zeugs nicht. Viel zu schwammig. Und die zu beweisende Gleichheit finde ich auch blödsinnig, weil gar nicht gesagt wird, in welchen Punkten die partiellen Ableitungen ausgewertet werden sollen. Ich versuche das mal auf den Punkt zu bringen.

Es sei $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0,z_0) \end{eqnarray*}$ ein "netter" Punkt für F mit $\begin{eqnarray*} F(x_0,y_0,z_0) = 0. \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Dann gibt es "nette" Funktionen g, h und j, so dass

$\begin{eqnarray*} F(x,y,g(x,y)) = 0 \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(h(y,z),y,z) = 0 \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} (y_0,z_0) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} F(x,j(x,z),z) = 0 \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} (x_0,z_0) \end{eqnarray*}$

gelten. Wenden wir auf F(x,y,g(x,y)) = 0 die Kettenregel an, dann erhalten wir

$\begin{eqnarray*} (0,0) &=& \Big(F_x(x,y,g(x,y))\,,\,F_y(x,y,g(x,y))\,,\,F_z(x,y,g(x,y))\Big)\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\\g_x(x,y) & g_y(x,y)\end{pmatrix}\\ &=& \Big(F_x(x,y,g(x,y)) + g_x(x,y)F_z(x,y,g(x,y))\,,\,F_y(x,y,g(x,y)) + g_y(x,y)F_z(x,y,g(x,y))\Big), \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} F_x(x,y,g(x,y)) + g_x(x,y)F_z(x,y,g(x,y)) = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} F_y(x,y,g(x,y)) + g_y(x,y)F_z(x,y,g(x,y)) = 0. \end{eqnarray*}$

Genauso gelten

$\begin{eqnarray*} F_y(h(y,z),y,z) + h_y(y,z)F_x(h(y,z),y,z) = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} F_z(h(y,z),y,z) + h_z(y,z)F_x(h(y,z),y,z) = 0, \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} F_x(h(y,z),y,z) + j_x(x,z)F_y(h(y,z),y,z) = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} F_z(h(y,z),y,z) + j_z(x,z)F_y(h(y,z),y,z) = 0. \end{eqnarray*}$

Setzen wir $\begin{eqnarray*} (x,y,z) = a := (x_0,y_0,z_0) \end{eqnarray*}$ ein, dann folgt

$\begin{eqnarray*} F_x(a) + g_x(x_0,y_0)F_z(a) = 0, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_y(a) + g_y(x_0,y_0)F_z(a) = 0, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_y(a) + h_y(y_0,z_0)F_x(a) = 0, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_z(a) + h_z(y_0,z_0)F_x(a) = 0, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_x(a) + j_x(x_0,z_0)F_y(a) = 0, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_z(a) + j_z(x_0,z_0)F_y(a) = 0. \end{eqnarray*}$

Der Term

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial z} \end{eqnarray*}$

soll nun wie folgt interpretiert werden:

$\begin{eqnarray*} g_x(x_0,y_0)\cdot h_y(y_0,z_0)\cdot j_z(x_0,z_0). \end{eqnarray*}$

Und es gilt tatsächlich

$\begin{eqnarray*} g_x(x_0,y_0)\cdot h_y(y_0,z_0))\cdot j_z(x_0,z_0) &=& \left(-\frac{F_x(a)}{F_z(a)}\right)\cdot \left(-\frac{F_y(a)}{F_x(a)}\right)\cdot\left(-\frac{F_z(a)}{F_y(a)}\right)\\ &=& -1. \end{eqnarray*}$

Übrigens reicht es dafür nicht, $\begin{eqnarray*} F'(a)\neq 0 \end{eqnarray*}$ zu fordern. Man muss schon $\begin{eqnarray*} F_x(a),F_y(a),F_z(a)\notin\{0\} \end{eqnarray*}$ voraussetzen.

21.07.2009, 20:41

Huggy

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@WebFritzi

Da hast du dir aber viel Mühe gegeben, einen korrekten Beweis noch korrekter zu machen.
Gratulation!

21.07.2009, 21:01

Peter Lustig

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Also ich danke euch schön für die ausgiebigen Antworten. Ihr habt mir deutlich weitergeholfen.

21.07.2009, 21:32

WebFritzi

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Zitat:

Original von Huggy
@WebFritzi

Da hast du dir aber viel Mühe gegeben, einen korrekten Beweis noch korrekter zu machen.
Gratulation!

Leider ist dein Beweis nicht mathematisch korrekt. Und zwar, weil die Symbole viel zu schwammig benutzt werden. Korrektheit besteht auch (und vor allem!) darin, keine Interpretationen zuzulassen. Bei dir muss man aber eine Menge interpretieren. Wie gesagt: in welchen Punkten werden die partiellen Ableitungen ausgewertet etc.

EDIT: Ich wette, du kommst aus der Differentialgleichungsecke. Augenzwinkern

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