g ° f - Verkettung bijektiv - Beweis von Surjektivität und injektivität

21.07.2009, 16:40	ortega456	Auf diesen Beitrag antworten »
g ° f - Verkettung bijektiv - Beweis von Surjektivität und injektivität Hallo, ich habe eine kleine Frage auf deren Lösung ich irgendwie nicht selbst kommen kann: Es heisst, wenn die Verkettung g ° f : A->C bijektiv ist, so ist f:A->B injektiv und g:B->C surjektiv. B ist ja der Bildbereich bei f. Wenn ich aber beispielsweise die funktionen nehme: für f nehme ich $\begin{eqnarray} \frac{x}{1+\|x\|} \end{eqnarray}$ : R->R (injektiv) und für g nehme ich $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ : R->[0,oo) (surjektiv) und diese Verkette erhalte ich die Funktion $\begin{eqnarray} ( \frac{x}{1+\|x\|})^2 \end{eqnarray}$ : R->[0,oo), welche aber weder injektiv, noch surjektiv ist. Wo ist da mein Gedankenfehler? Unten nochmal nacheinander f, g und f ° g
21.07.2009, 16:53	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Du bringst bei der Aussage die Reihenfolge durcheinander: Gesagt wird: Wenn die Verkettung g o f bijektiv ist, dann ist f injektiv und g surjektiv. Du prüfst aber die genau umgekehrte Aussage: Wenn f injektiv und g surjektiv ist, dann ist g o f bijektiv. Das ist eine falsche Aussage, wie Du ja auch oben zeigst.
21.07.2009, 17:07	ortega456	Auf diesen Beitrag antworten »
DANKE, das dürfte meinen Widerspruch erklären! Manchmal hat man bei den kleinen dingen ein brett vorm kopf..

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