Fakultäten & Binomialverteilungen

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edolino Auf diesen Beitrag antworten »
Fakultäten & Binomialverteilungen
Hallo zusammen

Die richtige Ausgabenstellung lautet:
Zeige, dass stets gilt:

*

Wie geh ich daran? Schreibe ich das mithilfe der Fakultäten um und wenn ja....wie multiplizier ich diese?

danke im Voraus
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fakultäten & Binomialverteilungen
Einfach mal einige Möglichkeiten ausprobieren; was hast du versucht?

Grüße Abakus smile
Fleischmütze Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fakultäten & Binomialverteilungen
Zitat:
Original von edolino

Wie geh ich daran? Schreibe ich das mithilfe der Fakultäten um und wenn ja....wie multiplizier ich diese?

danke im Voraus


Warum so zaghaft?
Die Idee ist doch gar nicht schlecht.

Berechne mit der Definition des Binomialkoeffizienten:



Du kannst dann ein wenig kürzen und schließlich direkt folgern, dass das Ergebnis immer ganzzahlig sein muss.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fleischmütze
Du kannst dann ein wenig kürzen und schließlich direkt folgern, dass das Ergebnis immer ganzzahlig sein muss.

Auch wenn hier Komplettlösungen eigentlich unerwünscht sind: Zeig mal, wie das beim entstehenden Quotienten



mit dem vollständigen Kürzen so einfach gehen soll!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ding ist nämlich nicht unbedingt trivial. Aber wie ich Arthur kenne, hat er auch schon einen Beweis parat. Ich nicht. Nicht einmal für b = 1. unglücklich
Fleischmütze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von Fleischmütze
Du kannst dann ein wenig kürzen und schließlich direkt folgern, dass das Ergebnis immer ganzzahlig sein muss.

Auch wenn hier Komplettlösungen eigentlich unerwünscht sind: Zeig mal, wie das beim entstehenden Quotienten



mit dem vollständigen Kürzen so einfach gehen soll!


Oha! Asche auf mein Haupt!

Ich hatte das a! und b! im Nenner verbummelt wodurch die Sache natürlich etwas einfacher wurde.

Danke, dass Du genau hingeguckt hast.
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Aber wie ich Arthur kenne, hat er auch schon einen Beweis parat.

Nein, habe ich leider nicht. Allenfalls eine katastrophal aufwändige Idee, basierend auf der Untersuchung einzelner Primfaktoren unter Einsatz von dieser Formel:

Zitat:
Primzahl ist in genau -mal enthalten.

Für diesen Exponent gibt es noch eine andere Darstellung , wobei die Quersumme der der -adischen Darstellung von ist.



EDIT: Der Fall geht noch:



Hier auch noch , durch Koeffizientenvergleich ermittelt:



Jetzt kommt es drauf an, eine ähnliche Technik auf den allgemeinen Fall zu applizieren, evtl. auch in einem Induktionsbeweis eingebettet. Das ist wohl der Weg, den man beschreiten sollte - nicht den von mir oben wahnsinnigerweise skizzierten Weg über die Primfaktoren. Augenzwinkern
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Vergesst das...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

OK, jetzt hab ich's: Für gilt

,

nachweisbar durch vollständige Induktion.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Bravo! Freude Hast du den Term mit a und b irgendwie durch den mit a und b+1 ausdrücken können, oder wie haste das gemacht? Ich hab letzteres versucht, bin aber nicht so richtig zurande gekommen.

Hat jemand ein Gegenbeispiel für folgende Behauptung?



Für n = 1 und k = 3 scheint es zu stimmen. Und Arthur hat gerade ein Spezialfall für n = 2 und k = 3 bewiesen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Webfritzi: : und . verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige. Ich hab die Fakultäten vergessen. Ups

EDIT1: Habe es editiert.

EDIT2: Aber auch das stimmt nicht, was dein Beispiel (mit Fakultäten "erweitert") beweist. Dann eben k > n. Augenzwinkern (wieder editiert)

EDIT1000000000: Man, man, man. Erst überlegen, dann einmal editieren, doofer WebFritzi. Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Hat jemand ein Gegenbeispiel für folgende Behauptung?


Das dürfte kein Problem sein:



Wenn du allerdings forderst, dass die maximale Fakultät im Zähler steht, dann bin ich mir schon nicht mehr so sicher, ob es ein Gegenbeispiel gibt - andernfalls schon.


EDIT: Nein, auch das allein hilft nicht:



Eine richtige Verallgemeinerung ist wohl schon ziemlich vertrackt in der Formulierung. Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK, danke. Wäre auch ZU schön gewesen. Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werd langsam senil - es gibt noch eine viel elegantere, weil kürzere Beweismöglichkeit:

Teilbarkeit von Fakultät Hammer
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Da müsste allerdings noch gezeigt werden, dass .
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Und für die Ganzzahligkeit von gibt es schließlich einen eigenen, deutlich bekannteren Induktionsbeweis.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Augenzwinkern


Hammer
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