Totale Differenzierbarkeit

22.07.2009, 15:52

Sabinee

Totale Differenzierbarkeit

Sei $\begin{eqnarray*} f(x,y):=\begin{cases} \frac{x^3+y^2}{4x^2+2y^2} & (x,y)\neq (0,0)\\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ total differenzierbar?

Zunächst einmal muss ich die zeigen ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ partiell differenzierbar in $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{1}{2t}=\infty \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass die partielle Ableitung nach y in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ nicht existiert und somit f auch nicht total differenzierbar in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ ist.

Ist das richtig?

22.07.2009, 15:56

klarsoweit

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RE: Totale Differenzierbarkeit
Ja. Die Funktion ist nicht mal stetig in (0, 0). Augenzwinkern

22.07.2009, 16:11

Sabinee

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RE: Totale Differenzierbarkeit
Ok, danke smile

Nächstes Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x,y):=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) & (x,y)\neq (0,0)\\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ überall (total) differenzierbar, aber im Nullpunkt nicht stetig differenzierbar ist.

Ich fange wie eben an und zeige dass die partiellen Ableitungen existieren.

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \to 0} t\sin\left(\frac{1}{t}\right)=0 \end{eqnarray*}$

Nun, angenommen f ist total differenzierbar, so nehme ich die partiellen Ableitungen als meine Linearform:

Es gilt: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)\cdot x+f_y(0,0)\cdot y=r(x,y) \end{eqnarray*}$

Nun muss gelten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{r(x,y)}{||(x,y)||}=\sqrt{x^2+y^2}\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) \end{eqnarray*}$

Führe ich nun eine Parametrisierung durch:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\sin(t) \\ r\cos(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{r \to 0}r\sin\left(\frac{1}{r}\right)=0 \end{eqnarray*}$

Somit ist f total differenzierbar.

Stimmt das bis soweit?

22.07.2009, 17:00

WebFritzi

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RE: Totale Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Sabinee
Nun, angenommen f ist total differenzierbar

Darum geht es doch gar nicht. Es ist nach "stetiger Differenzierbarkeit" gefragt.

EDIT: Übrigens ergeben viele deiner Ausführungen zur totalen Diffbarkeit wenig bis gar keinen Sinn.

22.07.2009, 17:07

Sabinee

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RE: Totale Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Sabinee
Ok, danke smile

Ich verstehe deine Antwort nicht. Natürlich muss ich zeigen dass f überall total differenzierbar ist.

Was ist denn an meiner Ausführung falsch?
Wir haben es so kennengelernt, dass man zunächst zeigen muss, dass die partiellen Ableitungen existieren und dann die Definition der totalen Differenzierbarkeit überprüfen muss.

22.07.2009, 17:13

WebFritzi

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RE: Totale Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Sabinee
Ich verstehe deine Antwort nicht. Natürlich muss ich zeigen dass f überall total differenzierbar ist.

Oh, entschuldige. Mit "Angenommen, f ist total differenzierbar" leitet man normalerweise einen Widerspruchsbeweis ein. D.h., ich bin davon ausgegangen, dass du zeigen willst, dass etwas NICHT gilt. Und da in der Aufgabe gezeigt werden muss, dass f NICHT stetig diffbar bei Null ist, dachte ich, du gehst diesen Punkt an. Hab mich da vertan. Sorry.

Zitat:

Original von Sabinee
Was ist denn an meiner Ausführung falsch?
Wir haben es so kennengelernt, dass man zunächst zeigen muss, dass die partiellen Ableitungen existieren und dann die Definition der totalen Differenzierbarkeit überprüfen muss.

OK, die Existenz der partiellen Ableitungen ist auch ok. Ich gehe in einem weiteren Post gleich deine Ausführungen durch.

22.07.2009, 17:18

Sabinee

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RE: Totale Differenzierbarkeit
Okay, danke dir

22.07.2009, 17:27

WebFritzi

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RE: Totale Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Sabinee
Ich fange wie eben an und zeige dass die partiellen Ableitungen existieren.

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \to 0} t\sin\left(\frac{1}{t}\right)=0 \end{eqnarray*}$

Das ist vollkommen in Ordnung. Außer, dass es $\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{1}{|t|}\right) \end{eqnarray*}$ heißen müsste. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Sabinee
Nun, angenommen f ist total differenzierbar, so nehme ich die partiellen Ableitungen als meine Linearform:

Es gilt: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)\cdot x+f_y(0,0)\cdot y=r(x,y) \end{eqnarray*}$

Das ist schon nicht in Ordnung. Es ist richtig, dass gegebenenfalls die totale Ableitung die partiellen als Komponenten hat. Aber die Gleicchung müsste lauten

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = f(0,0) + f_x(0,0)x + f_y(0,0)y + r(x,y). \end{eqnarray*}$

Also "+" und nicht "=".

Zitat:

Original von Sabinee
Nun muss gelten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{r(x,y)}{||(x,y)||}=\sqrt{x^2+y^2}\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) \end{eqnarray*}$

Das macht keinen Sinn. Was soll h sein? Und auch, wenn du h durch (x,y) ersetzt, wird es nicht besser. Es sollte so sein: "Nun muss gelten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{\|(x,y)\|\to 0}\,\frac{r(x,y)}{||(x,y)||} = 0. \end{eqnarray*}$ "

Nun kannst du das r(x,y) ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} r(x,y) = f(x,y) - f(0,0) - f_x(0,0)x - f_y(0,0)y = f(x,y) = (x^2+y^2)\sin\left(\frac 1 {\sqrt{x^2+y^2}}\right). \end{eqnarray*}$

Also ist zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{\|(x,y)\|\to 0}\,\frac{(x^2+y^2)\sin\left(\frac 1 {\sqrt{x^2+y^2}}\right)}{||(x,y)||} = 0. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Sabinee
Führe ich nun eine Parametrisierung durch:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\sin(t) \\ r\cos(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{r \to 0}r\sin\left(\frac{1}{r}\right)=0 \end{eqnarray*}$

Somit ist f total differenzierbar.

Stimmt das bis soweit?

Ja, das ist ok. Die Parametrisierung macht auch Sinn. Sie ist zwar nicht unbedingt nötig, aber sie verdeutlicht, was passiert. Ich finde aber, dass du es nicht ordentlich aufschreibst. Es fehlen die Zusammenhänge. Besser so: "Es gilt nun mit der Parametrisierung (s.o.)

$\begin{eqnarray*} \lim_{\|(x,y)\|\to 0}\,\frac{r(x,y)}{\|(x,y)\|} = \lim_{\|(x,y)\|\to 0}\,\frac{(x^2+y^2)\sin\left(\frac 1 {\sqrt{x^2+y^2}}\right)}{||(x,y)||} = \lim_{r \to 0}\,r\sin\left(\frac{1}{r}\right)=0. \end{eqnarray*}$

Also ist f in (0,0) total differenzierbar." smile

22.07.2009, 17:33

Sabinee

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RE: Totale Differenzierbarkeit
Danke dir für deine ausführliche Erklärung Wink

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