Wegintegrale

22.07.2009, 17:27

rappozappo

Wegintegrale

Hey, hab mal folgende Aufgabe:

http://www2.pic-upload.de/22.07.09/fjnkxulhscw.jpg

Ich bin jetzt mit der Formel $\begin{eqnarray*} W = \int_{}^{}~\vec{F} ~dx = \int_{}^{}~\vec{F}(X(t))* X'(t) ~dt \end{eqnarray*}$
und den willkürlich gewählten Wegen $\begin{eqnarray*} t1 = (t,t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} <br /> t2 = (t,t^2) \end{eqnarray*}$ ranngegangen

Bei der ersten Lösung habe ich das gleiche wie die Musterlösung, obwohl ich deren Begrüngung nicht verstehe.
Was heißt denn genau "nicht exakt" oder wie kommen die auf das Potential (Ich finde die Formel nicht, wonach muss ich denn suchen)?
Bei der zweiten Teilaufgabe rechne ich mich erstmal tot, bevor ich überhaupt auf etwas komme und dann wird es noch falsch.

Mach ich da etwas zu kompliziert und es geht einfacher? Ich glaube ja^^
Wäre wirklich froh über Ratschläge!

Gruß

22.07.2009, 17:55

WebFritzi

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RE: Wegintegrale

Zitat:

Original von rappozappo
Was heißt denn genau "nicht exakt" oder wie kommen die auf das Potential (Ich finde die Formel nicht, wonach muss ich denn suchen)?

Mathematik besteht nicht darin, nach bestimmten Formeln zu suchen, sie zu finden und einzusetzen. Man muss selber ein bisschen überlegen. Manchmal auch etwas mehr. Augenzwinkern

Ein Vektorfeld auf einer offenen Menge U heißt exakt, wenn es auf U ein Potential besitzt. Das ist auch genau dann der Fall, wenn das Wegintegral des Vektorfeldes über jeden beliebigen Weg zwischen zwei Punkten in U immer den gleichen Wert ergibt. Es gibt auch die (im Falle sternförmiger Gebiete U dazu äquivalente) Integrabilitätsbedingung (von Poincaré, glaub ich).

Dein Vektorfeld F ist nicht exakt, weil du zwei Wegintegrale zwischen zwei Punkten berechnet hast, die verschiedene Werte haben. G ist exakt, weil es ein Potential besitzt. Du könntest auch die Integrabilitätsbedingung für G überprüfen.

22.07.2009, 18:52

rappozappo

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RE: Wegintegrale

Zitat:

Original von WebFritzi
Mathematik besteht nicht darin, nach bestimmten Formeln zu suchen, sie zu finden und einzusetzen. Man muss selber ein bisschen überlegen. Manchmal auch etwas mehr. Augenzwinkern

Dein Vektorfeld F ist nicht exakt, weil du zwei Wegintegrale zwischen zwei Punkten berechnet hast, die verschiedene Werte haben. G ist exakt, weil es ein Potential besitzt. Du könntest auch die Integrabilitätsbedingung für G überprüfen.

G ist also exakt, weil ich zwei Wegintegrale zwischen zwei Punkten berechnet habe und sie das gleiche ergeben? (^^ Also bei mir net so wirklich)

Und ich könnte das noch einfacher bestimmen in dem ich die Formel für das Gradientenfeld nehme, das dann automatisch ein Potential besitzt:
http://upload.wikimedia.org/math/2/9/9/2...feb40e71d16.png
Kann mir das mit dem Gradientenfeld aber nicht so richtig vorstellen. Das ist doch, wenn ich einen Punkt im Raum nehme, derjenige Vektor, der in Richtung der größten Steigung zeigt? und auch irgendwie zeigt, wie groß die Steigung ist? Richtig?

Den Gradienten bestimmt man doch, in dem man die einzelnen Faktoren ableitet, oder?

Habs mal versucht mit der Funktion G: $\begin{eqnarray*} grad \phi = 48y + 36x + 20y^3 \end{eqnarray*}$

Aber ich seh da nicht wirklich viel ... ausserdem ist mein Gradient anders als der in der Musterlösung.

22.07.2009, 19:09

WebFritzi

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RE: Wegintegrale

Zitat:

Original von rappozappo

Zitat:

G ist also exakt, weil ich zwei Wegintegrale zwischen zwei Punkten berechnet habe und sie das gleiche ergeben?

Nein. G ist exakt, wenn das für ALLE Punktepaare und ALLE Wege dazwischen gilt! Ein Beispiel reicht natürlich nicht.

Zitat:

Original von rappozappo
Und ich könnte das noch einfacher bestimmen in dem ich die Formel für das Gradientenfeld nehme, das dann automatisch ein Potential besitzt:
http://upload.wikimedia.org/math/2/9/9/2...feb40e71d16.png

WAS könntest du damit einfacher bestimmen? Drück dich bitte verständlich aus.

Zitat:

Original von rappozappo
Kann mir das mit dem Gradientenfeld aber nicht so richtig vorstellen. Das ist doch, wenn ich einen Punkt im Raum nehme, derjenige Vektor, der in Richtung der größten Steigung zeigt? und auch irgendwie zeigt, wie groß die Steigung ist? Richtig?

So ähnlich. Aber man muss sich in der Mathematik nicht immer alles vorstellen (können). Hier bringt dir die Vorstellung gar nichts!

Zitat:

Original von rappozappo
Den Gradienten bestimmt man doch, in dem man die einzelnen Faktoren ableitet, oder?

Was für Faktoren? Son Unsinn. Im Gradienten einer Funktion stehen die partiellen Ableitungen dieser.

Zitat:

Original von rappozappo
Habs mal versucht mit der Funktion G: $\begin{eqnarray*} grad \phi = 48y + 36x + 20y^3 \end{eqnarray*}$

Aber ich seh da nicht wirklich viel ... ausserdem ist mein Gradient anders als der in der Musterlösung.

Ja, weil das wieder mal Unsinn ist. Der Gradient ist eine Vektorfunktion. Das Potential soll sein: $\begin{eqnarray*} g(x,y) = 12xy^2 + 2x^3 + y^5. \end{eqnarray*}$ Davon willst du also den Gradienten bestimmen? Nichts leichter als das. Erstmal leiten wir nach x ab:

$\begin{eqnarray*} g_x(x,y) = 12y^2 + 6x^2. \end{eqnarray*}$

Das ist die erste Komponente des Gradienten. Die zweite ist die Ableitung nach y:

$\begin{eqnarray*} g_y(x,y) = 24xy + 5y^4. \end{eqnarray*}$

Also lautet der Gradient von g:

$\begin{eqnarray*} {\rm grad}\,g(x,y) = \binom{12y^2 + 6x^2}{24xy + 5y^4}. \end{eqnarray*}$

Und das ist gerade das Vektorfeld G.

22.07.2009, 20:20

rappozappo

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Erstmal danke, hat mcih enorm weitergebracht der Beitrag!
Ok, ich drücke mich verständlicher aus!

Wenn ich zeige, dass meine Funktion (mien Vektor F oder G) ein Gradientenfeld mit einem Potential phi ist, dann ist bewiesen, dass das Integral davon Wegunabhängig ist.

Jetzt weiß ich ja dank dir, wie man von der Funktion zum Potential kommt. Alle Werte partiell integrieren und die "Doppelten" (12xy²) dann rausstreichen.

Meine Rechnungen:
__________________________
Potential von G= 12xy²+2x³+12xy²+y^5 (und hier die 12xy² einmal rausstreichen ... warum weiß ich net ... auch nicht mit überlegen)

Und wenn ich für F ein Potential ausrechne, komme ich nicht mehr auf den Gradienten (F) und somit habe ich kein Potential ausgerechnet, weil es nicht existiert.

Rechnugn zu Potential(F)=3x²-x+xy² + 3x²y+5y³ (jetzt die 3x²y rausstreichen)=3x²-x+xy² +5y³
Potential(F) jetzt partiell abgeleitet ergibt den fast unveränderten Gradienten F, ausser, dass jetzt der Summand 2xy im y-Teil des Gradienten zuviel ist.
___________________________

Tut mit leid, wenn ich so´n Unsinn rede ... aber was wardenn das richtige Wort für "Faktor"? ^^

23.07.2009, 01:24

WebFritzi

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Zitat:

Original von rappozappo
Meine Rechnungen:
__________________________
Potential von G= 12xy²+2x³+12xy²+y^5 (und hier die 12xy² einmal rausstreichen ... warum weiß ich net ... auch nicht mit überlegen)

Und wenn ich für F ein Potential ausrechne, komme ich nicht mehr auf den Gradienten (F) und somit habe ich kein Potential ausgerechnet, weil es nicht existiert.

Rechnugn zu Potential(F)=3x²-x+xy² + 3x²y+5y³ (jetzt die 3x²y rausstreichen)=3x²-x+xy² +5y³
Potential(F) jetzt partiell abgeleitet ergibt den fast unveränderten Gradienten F, ausser, dass jetzt der Summand 2xy im y-Teil des Gradienten zuviel ist.

Ich habe keine Ahnung, was du mit "rausstreichen" meinst. Wenn ich testen will, ob ein Vektorfeld ein Potential hat, dann streiche ich jedenfalls nichts raus. Bei F würde ich das so machen:

$\begin{eqnarray*} F(x,y) = \binom{6xy-1+y^2}{3x^2+15y^2}. \end{eqnarray*}$

Nehmen wir an, es gebe ein Potential f, also eine Funktion f : IR² -> IR mit grad(f) = F. Dann gilt $\begin{eqnarray*} (f_x,f_y) = F, \end{eqnarray*}$ d.h. die erste (zweite) Komponente von F ist die Ableitung von f nach x (nach y). Wir integrieren also die erste Komponente von F nach x und erhalten

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = 3x^2y - x + xy^2 + g(y) \end{eqnarray*}$

mit einer Funktion g, die nur von y abhängt. Leite nach x ab, um das Ergebnis zu checken. Leiten wir nun dieses f nach y ab, folgt

$\begin{eqnarray*} f_y(x,y) = 3x^2 + 2xy + g'(y). \end{eqnarray*}$

Das soll aber nun die zweite Komponente von F darstellen, was nicht sein kann. Das 2xy stört, weil da noch ein x drin ist. ERROR. Also kann F kein Potential haben. Anders G. Da geht das obige Schema auf. Es ist so ähnlich wie beim schriftlichen Dividieren. Entweder bleibt ein Rest übrig oder nicht.

Ich habe übrigens keine Ahnung, was du mit "Faktor" meintest. Faktoren spielen beim Gradienten jedenfalls keine Rolle. Man leitet nach x und nach y ab und schreibt die beiden Ergebnisse in einen Vektor.

23.07.2009, 18:13

rappozappo

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Ach cool. Danke! Bist du Diplommathematiker oder so?^^

Also ist das berechnete Potential von G: die erste Zeile nach x Integriert, und das Restglied g'(y) auch Integriert, dann summiert ergibt das Potential.

Ok, habs verstanden, auch wenn ich es jetzt nicht 100% wiedergegeben habe.

23.07.2009, 18:44

WebFritzi

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Zitat:

Original von rappozappo
Ach cool. Danke! Bist du Diplommathematiker oder so?^^

Ja, aber das braucht man dafür nicht zu sein. Augenzwinkern

23.07.2009, 19:01

rappozappo

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Doch

haha :P

23.07.2009, 19:29

WebFritzi

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Nein! :P :P

Und zwar, weil das (jedenfalls auf dem Level, auf dem wir das hier betreiben) Analysis II-Billig-Scheiße ist. Augenzwinkern

Das sollte jeder Mathe-Student im zweiten Semester kapieren.

01.08.2009, 19:25

rappozappo

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Zitat:

Original von WebFritzi
Ich habe keine Ahnung, was du mit "rausstreichen" meinst. Wenn ich testen will, ob ein Vektorfeld ein Potential hat, dann streiche ich jedenfalls nichts raus. Bei F würde ich das so machen:

$\begin{eqnarray*} F(x,y) = \binom{6xy-1+y^2}{3x^2+15y^2}. \end{eqnarray*}$

Nehmen wir an, es gebe ein Potential f, also eine Funktion f : IR² -> IR mit grad(f) = F. Dann gilt $\begin{eqnarray*} (f_x,f_y) = F, \end{eqnarray*}$ d.h. die erste (zweite) Komponente von F ist die Ableitung von f nach x (nach y). Wir integrieren also die erste Komponente von F nach x und erhalten

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = 3x^2y - x + xy^2 + g(y) \end{eqnarray*}$

mit einer Funktion g, die nur von y abhängt. Leite nach x ab, um das Ergebnis zu checken. Leiten wir nun dieses f nach y ab, folgt

$\begin{eqnarray*} f_y(x,y) = 3x^2 + 2xy + g'(y). \end{eqnarray*}$

Das soll aber nun die zweite Komponente von F darstellen, was nicht sein kann. Das 2xy stört, weil da noch ein x drin ist. ERROR. Also kann F kein Potential haben. Anders G. Da geht das obige Schema auf. Es ist so ähnlich wie beim schriftlichen Dividieren. Entweder bleibt ein Rest übrig oder nicht.

Ich habe übrigens keine Ahnung, was du mit "Faktor" meintest. Faktoren spielen beim Gradienten jedenfalls keine Rolle. Man leitet nach x und nach y ab und schreibt die beiden Ergebnisse in einen Vektor.

Hab beim stöbern gaaanz zufällig was gefunden, was meiner Meinung nach schneller zum Ziel führt, und zwar:
für Exaktheit ist ja definiert: $\begin{eqnarray*} \frac{\delta F_i}{\delta x_j} =\frac{\delta F_j}{\delta x_i} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1\leq i<j\leq n \end{eqnarray*}$

Also die x-Komponente des Gradienten nach y ableiten und gleichsetzen mit der y-Komponente abgeleitet nach x. Wenn es das Gleiche ergibt, existiert ein Potential.

Habe noch nicht so viel erfahrung damit und wollte fragen, ob das auch für Gradienten mit 3-Komponenten geht. Also dass ich folgend vorgehe:

x-Komponente nach y abgeleitet=y-Komponente nach x abgeleitet
y-Komponente nach z abgeleitet=z-Komponente nach y abgeleitet
z-Komponente nach x abgeleitet=x-Komponente nach z abgeleitet

Meine Annahme: Wenn all diese Gleichungen stimmen, besitzt das Gradientenfeld ein Potential ... andernfalls nicht.
Kann mir bitte jemand , oder du WebFritzi, wenn du nicht so viel zu tun hast, bestätigen, ob meine Annahme richtig ist?

01.08.2009, 20:46

WebFritzi

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Deine Annahme ist richtig. Aber: Gelten deine Gleichungen (auch im 2-dimensionalen Fall) auf einem Gebiet G, dann ist das Feld nur dann mit Gewissheit auf G exakt, wenn das Gebiet sternförmig ist.

01.08.2009, 23:46

rappozappo

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Und herausfinden, ob es sternförmig ist, kann ich mit Parameterintegralen.
Kommen aber erst im nächsten Kapitel unserer Vorlesung seh ich gerade.

Danke WebFritzi!

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Wegintegrale

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