(n-1)-Fakultät als Quotient

20.09.2006, 19:49

w³

(n-1)-Fakultät als Quotient

Hallo!

Hat jemand eine Idee, wie ich von $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{1!(n-1)!} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} =n \end{eqnarray*}$ komme? Da ich n ja nicht kenne, bekomme ich doch die (-1) nicht aus der Klammer oder etwa doch?

Danke schonmal im Voraus Gott

20.09.2006, 19:50

penizillin

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der zähler ist:

$\begin{eqnarray*} n! = n \cdot (n-1)! \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

20.09.2006, 20:15

w³

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Zitat:

Original von penizillin
der zähler ist:

$\begin{eqnarray*} n! = n \cdot (n-1)! \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Pff typisch Mathematiker geschockt

Frage:

Wenn die Fakultät $\begin{eqnarray*} (-1)! \end{eqnarray*}$ auftaucht, was passiert dann?
Ist das "nichts"? Das taucht nämlich auf bei $\begin{eqnarray*} (n-(n-1))! \end{eqnarray*}$ und (-1) ist keine natürliche Zahl. Wäre natürlich gut, wenn man das (-) aus der Klammer herausbekäme!

Grüße

20.09.2006, 20:16

penizillin

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kommt da nicht viel eher $\begin{eqnarray*} (1)! \end{eqnarray*}$ raus? kontrolliere mal die vorzeichen.

ansonsten ist

1) fak() nur für natürliche zahlen definiert.
2) die definition über

$\begin{eqnarray*} n! = \prod_{k=1}^n~k = \prod_{k=2}^n~k \end{eqnarray*}$

besagt im falle n<1: leeres produkt => ergebnis "eins" Augenzwinkern

20.09.2006, 21:42

w³

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Zitat:

Original von penizillin
kommt da nicht viel eher $\begin{eqnarray*} (1)! \end{eqnarray*}$ raus? kontrolliere mal die vorzeichen.

Stimmt!

Weiß jemand, wie ich den folgenden Binomialkoeffizienten mit Hilfe der Fakultät zu "n+1" auflösen kann?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Egal, was ich aus dem hier mache, es kommt nicht "n+1" raus. unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{n!((n+1)-n)!} \end{eqnarray*}$

Eine Idee?

20.09.2006, 21:44

Calvin

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Rechne mal im Nenner (n+1)-n aus. Danach siehst du es vielleicht besser smile

Wenn du es immer noch nicht siehst, dann verwende das oben schon angesprochene $\begin{eqnarray*} (n+1)!=(n+1)\cdot n! \end{eqnarray*}$

20.09.2006, 21:49

Dual Space

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Im Übrigen gibt es auch eine Verallgemeinerung der Fakultätsfunktion für nichtnatürliche Argumente:

$\begin{eqnarray*} \Gamma(z)=\int\limits_0^\infty t^{z-1}e^{-t} dt \end{eqnarray*}$

wobei man leicht nachrechnet, dass $\begin{eqnarray*} \Gamma(n+1)=n! \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

20.09.2006, 22:40

Lazarus

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Wobei man auf die frage mit $\begin{eqnarray*} (-1)! \end{eqnarray*}$ eingehend sagen muss, dass selbst die Gammafunktion da aussetzt.

Die Fakultät auf nicht positive ganze Zahlen anzuwenden geht nicht.

21.09.2006, 20:29

w³

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Zitat:

Original von Calvin
Rechne mal im Nenner (n+1)-n aus. Danach siehst du es vielleicht besser smile

Wenn du es immer noch nicht siehst, dann verwende das oben schon angesprochene $\begin{eqnarray*} (n+1)!=(n+1)\cdot n! \end{eqnarray*}$

Habs, danke! Wink

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