Arbeit um einen Wasserturm zu fuellen

23.07.2009, 05:55

Tami-chan

Arbeit um einen Wasserturm zu fuellen

Hi everyone Wink

Ein zylinderfoermiger Wassertank dessen Boden einen Radius von 10 Fuß hat und 25 Fuß hoch ist, ist auf einem 360 Fuß hohen zylinderfoermigen Rohr angebracht, welches einen Radius von 1/6 Fuß hat. Der Tank soll durch das Rohr gefuellt werden. Die Wasserquelle befindet sich am Boden des Rohres. Berechne die Arbeit die beim Fuellen des Tankes verrichtet wird. (Die Dichte von Wasser betraegt 62.4 Pfund pro Kubikfuß.)

Hier ist mein Loesungsversuch:

Arbeit = Kraft * Entfernung
Kraft = Volumen * Dichte
W = $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~ \end{eqnarray*}$ Volumen * Dichte * Entfernung
W = $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~ \pi \end{eqnarray*}$ r^2 * 62.4 lb/ft^3 * Entfernung

W = Arbeit um das Wasser durch das Rohr zu pumpen + Arbeit um das Wasser in den Tank zu pumpen
W = $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{360}~ \pi \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ ^2 * 62.4 lb/ft^3 * (360-y) dy + $\begin{eqnarray*} \int_{360}^{385}~ \pi \end{eqnarray*}$ * 10^2 * 62.4 lb/ft^3 * (25-y) dy

W = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{36} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ * 62.4 lb/ft^3 $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{360}~ \ \end{eqnarray*}$ (360-y) dy + 100 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ * 62.4 lb/ft^3 $\begin{eqnarray*} \int_{360}^{385}~ \end{eqnarray*}$ (25-y) dy

W = $\begin{eqnarray*} \frac{26}{15} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left[360y - \frac {y^2}{2}\right]_{0}^{360} \end{eqnarray*}$ + 6240 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left[25y - \frac {y^2}{2}\right]_{360}^{385} \end{eqnarray*}$

W = $\begin{eqnarray*} \frac{26}{15} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ * (360*360 - $\begin{eqnarray*} \frac {360^2}{2} \end{eqnarray*}$ ) - 0 + 6240 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ (25*385 - $\begin{eqnarray*} \frac {385^2}{2} \end{eqnarray*}$ ) - 6240 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ (25*360 - $\begin{eqnarray*} \frac {360^2}{2} \end{eqnarray*}$ )

W = $\begin{eqnarray*} \frac{26}{15} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ * 64800 + 6240 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ * (-64487.5) - 6240 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ * (-55800)

W = - 54097680 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

Logischerweise kann die Arbeit hier ja nicht negativ sein, oder? verwirrt

Kann mir jemand vielleicht mal einen Tipp geben wo mein Fehler liegt? (Siehe Dateianhang fuer Skizze)

23.07.2009, 07:13

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Zitat:

Original von Tami-chan
Kraft = Volumen * Dichte

Ich weiß nicht, wie das in England/USA ist, aber in Deutschland ist immer noch

Masse = Volumen * Dichte

und dann erst

(Schwer)Kraft = Masse * Erdbeschleunigung

Anscheinend packst du diesen Teil alles in dein "Pfund", was dann bei dir nicht nur eine Masse-, sondern auch eine Gewichtseinheit zu sein scheint. War früher üblich, ist doch aber heute eher eine antiquierte Sichtweise, oder? verwirrt

23.07.2009, 11:30

Bakatan

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Rechne bitte erstmal alles in SI-Einheiten um. Das ist für viele Zwecke und Umrechnungen von Einheiten relativ praktisch. Zudem verrichtest du hier Hubarbeit. Du steckst Arbeit rein und erhöhst damit die potentielle Energie des Wassers. Das ist dann m*g*h und über h musst du halt Integrieren, wie du es eigentlich schon gemacht hast. Es gibt sehr wohl negative Arbeit, aber in diesem Fall sollte nach Konvention etwas positives heraus kommen. In deiner Rechnung passieren allerdings immer wieder fragwürdige Schritte.
Kraft != Volumen * Dichte. Dann rechnest du allerdings im ersten Schritt Volumen wieder als Pi*r² um, was nur die Grundfläche ist.
Du hast allgemein $\begin{eqnarray*} \bigtriangleup E_{pot}=\int_{0}^{h}Agh dh \end{eqnarray*}$

23.07.2009, 15:03

Ehos

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Deine Rechnung ist viel zu kompliziert.

Berechne einfach die Höhendifferenz der beiden Schwerpunkte des wasser vor und nach dem Füllen:

Vor dem Füllen kann man sagen, das Wasser liegt "als Pfütze" am Boden (Höhe = 0). Nach dem Füllen des Turmes kann man sich das gesamte Wasser im Mittelspunkt des (gefüllten) Zylinders konzentriert denken. Bestimme die Höhe h dieses Mittelpunktes (im Kopf). Die gesuchte Arbeit ist dann

W=m*g*h

Das Integrieren kannst du dir sparen.

23.07.2009, 15:20

Tami-chan

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@ Arthur Dent:
Keine Ahnung, vielleicht hab dich das ja falsch uebersetzt, aber wir haben hier in den USA am college gelernt dass Force = Volume * Density verwirrt

@ Ehos:
Also, ich glaube integrieren muss man da schon. Ich belege gerade einen Calculus 2 Kurs (Entspricht Analysis II denk ich mal) und wir loesen die ganze Zeit Aufgaben durch integrieren. Ich glaube nicht dass unsere Lehrerin uns so ein
Problem aufgeben wuerde wenn es ueberhaupt nichts mit dem Kursinhalt zu tun hat...

@Bakatan:
Meinst du mit SI-Einheiten, dass ich alles in cm und so umrechnen soll? Das hilft mir aber nicht wirklich, denn meine Lehrerin will die Antwort in foot* lb haben.
Dann muss ich dass ja hinterher wieder zurueck umrechen...
na mal sehen:
1 Fuss = 12 Inches, I Inch = 2.54 cm
=>
10 Fuss = 25,4cm
25 Fuss = 63.5 cm
360 Fuss = 914.4 cm
1/6 Fuss = 12/6 Inches = 2 Inches = 5.08 cm
Wie ich die Dichte umrechnen soll da bin ich mir nicht so sicher verwirrt

Kann ich da einfach 1,000g pro cm^3 nehmen?

Zitat:

Original von Bakatan
Kraft != Volumen * Dichte. Dann rechnest du allerdings im ersten Schritt Volumen wieder als Pi*r² um, was nur die Grundfläche ist.

Ich weiss ja dass die Formel fuer das Volumen einer Scheibe Pi*r^2*h ist,
aber beim Fuellen des Tankes aendert sich die Hoehe ja staendig, deswegen habe ich h duch dy ersetzt.

Hier mal ein aehnliches Problem, was wir im Unterricht hatten. Ich habe versucht das obige Problem nach dem gleichen Prinzip zu loesen, oder geht das in diesem Fall nicht?

Ein Zylinderfoermiger Wassertank hat einen radius von 10ft und eine Hoehe von 30 ft und ist zur Haelfte mit Wasser gefuellt. Wie viel Arbeit muss verrichtet werden, um das gesamte Wasser ueber den Rand des Tankes raus zu pumpen?

23.07.2009, 15:28

Ehos

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Die Formel "Force=Volume * Density" ist falsch. Das sieht man schon an den Einheiten, denn

Einheit von Density = [kg/m^3]
Einheit vom Volumen = [m^3]

Wenn man dies multipliziert kommt die Einheit [kg] heraus, also eine Masse. Es soll aber eine Kraft 'rauskommen, also [kg/ms^2].

Die Aufgabe ist wie gesagt so trivial, dass man sie mit der Formel "Arbeit=Kraft mal Weg" lösen kann (Stoff der Klasse 6). Man sollte keineswegs mit "Integralrechnung" anwenden.

Ich glaube, der Worte sind genug gewechselt.

23.07.2009, 15:57

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@Ehos

Wobei die von dir skizzierte Rechnung zweimal durchzuführen ist: Einmal für den Tankzylinder, das zweite mal für den Rohrleitungszylinder. Zumindest ist der zweite Teil nötig, wenn man diesen Zylinder am Anfang als leer annimmt, und das soll hier anscheinend der Fall sein.

23.07.2009, 16:09

Tami-chan

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Zitat:

Original von Ehos
Die Formel "Force=Volume * Density" ist falsch. Das sieht man schon an den Einheiten, denn

Einheit von Density = [kg/m^3]
Einheit vom Volumen = [m^3]

Wenn man dies multipliziert kommt die Einheit [kg] heraus, also eine Masse. Es soll aber eine Kraft 'rauskommen, also [kg/ms^2].

Ja, wenn man das so rechnet ist es vielleicht falsch, aber mit amerikanischen Einheite funktioniert es:

Einheit von density = lb/ft^3
Einheit von Volume = ft^3
Einheit von Distance = ft

W = Volume * Density * Distance
W = ft^3 * lb/ft^3 * ft
ft^3 vom Volume und ft^3 von Density fallen weg und dann bleibt nur noch
lb*ft uebrig, die Einheit von Arbeit.

23.07.2009, 17:04

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Anscheinend rechnest du nicht mit der Dichte, sondern dem spezifischen Gewicht (Wichte). Das solltest du deutlich kenntlich machen, ist nämlich schon sehr unüblich hierzulande.

Wenn du dagegen - wie oben ständig geschehen, ob in deutsch oder englisch - nur von Dichte (density) sprichst, dann ist es eben physikalisch falsch, und zwar überall auf der Welt.

23.07.2009, 19:55

Tami-chan

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Ich wusste nicht dass ich mit dem spezifischen gewicht gerechnet habe. hab einfach nur das benutzt was in der Aufgabe gegeben war...

Wenn ich mir die Vorschlaege von Arthur Dent und Ehos zu Herzen nehme und
die Aufgabe noch mal rechne, bekomme ich folgendes:

Masse = Volumen * Dichte
VZylinder = Pi*r^2*h
Masse = Pi*r^2*h * 1000g/cm^3
Masse = Pi * (25.4cm)^2 * 63.5cm * 1000g/cm^3
Masse = 40967660g = 40967,66 kg

Kraft = Masse * Erdbeschleunigung
Kraft = 40967,66 kg * 9.81 m/s^2
kraft = 401897.7446 kg/ms^2

Arbeit = m*g*h
Arbeit = 40967,66 kg * 9,81 m/s^2 * (Mitelpunkt des oberen Zylinders)
Arbeit = 40967,66 kg * 9,81 m/s^2 * (9,144m + 0.635m/2)
Arbeit = 40967,66 kg * 9,81 m/s^2 * 9,4615m
Arbeit = 3802508,203 kg *ms^2

Stimmt das so?

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