1/n divergiert ; 1/(n^2) konvergiert
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23.07.2009, 09:59 mathe+- Auf diesen Beitrag antworten »
1/n divergiert ; 1/(n^2) konvergiert
Überschrift sagt schon alles. Ich verstehe nicht, dass eine harmonische Reihe divergiert, aber die Reihe 1/(n^2) konvergiert, denn sie besteht ja aus 2 harmonischen Reihen.

Kann man allegemein sagen, dass, wenn der Exponent des "n" im Nenner größer als 1 ist, die Reihe konvergiert? Wie ist es bei Werten kleiner als 1?
23.07.2009, 10:05 Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 1/n divergiert ; 1/(n^2) konvergiert
Ob eine Reihe divergiert oder konvergiert hängt maßgeblich davon ab, wie "schnell" die zugehörige Folge gegen Null konvergiert. "Messen" kann man diese "Konvergenzgeschwindigkeit" z.B. mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium.

Die Folge 1/n ist gewissermaßen ein Grenzfall, denn sie konvergiert gerade so langsam gegen Null, dass die (harmonische) Reihe divergiert.
23.07.2009, 10:23 mathe+- Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 1/n divergiert ; 1/(n^2) konvergiert
Und kann man das so verallgemeinern, wie ich oben beschrieben habe?
23.07.2009, 10:31 AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathe+-
Kann man allegemein sagen, dass, wenn der Exponent des "n" im Nenner größer als 1 ist, die Reihe konvergiert?

Ja.

Zitat:
Original von mathe+-
Wie ist es bei Werten kleiner als 1?

Divergenz.

Beides kann man natürlich nachweisen, sollte man auch wenigstens einmal im Leben tun. Augenzwinkern
23.07.2009, 10:34 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 1/n divergiert ; 1/(n^2) konvergiert
Zitat:
Original von mathe+-
Kann man allegemein sagen, dass, wenn der Exponent des "n" im Nenner größer als 1 ist, die Reihe konvergiert?

Das kann man nicht nur sagen, sondern auch beweisen. Augenzwinkern

Zitat:
Original von mathe+-
Wie ist es bei Werten kleiner als 1?

Da kann man sicht leicht überlegen, daß diese Reihen divergieren.

Zitat:
Original von Dual Space
"Messen" kann man diese "Konvergenzgeschwindigkeit" z.B. mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium.

Leider liefern in diesem Fall beide Kriterien keine brauchbaren "Meß"-Ergebnisse. Augenzwinkern
23.07.2009, 10:38 Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Tip: Setze die Reihe in Bezug zum Integral . Fasse sie für in geeigneter Weise als Untersumme, für als Obersumme des Integrals auf. Und über die Konvergenz des Integrals und im Falle der Konvergenz seinen Grenzwert kann leicht entschieden werden.

Skizzen sind hier zum Verständnis sehr hilfreich.
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23.07.2009, 19:33 Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Genauso gut geht es auch mit dem Verdichtungskriterium von Cauchy! smile

Cordovan
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