schiefe Rotationsachsen

23.07.2009, 11:33	mono	Auf diesen Beitrag antworten »
schiefe Rotationsachsen hallo, ich habe folgendes Problem. Ich will das Massenträgheitsmoment eines Quaders berechnen, der die Seitenlängen a,b,c hat. In bezug auf eine Achse durch den Schwerpunkt und parallel zu einer Seitenlänge ist mir das klar. Ich suche einen Ansatz für eine Rotationsachsachse die gleichzeitig Raumdiagonale ist. Ich finde keine geeignete Abstandsfunktion!!! mfg mono
23.07.2009, 14:20	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst gar nicht explizit das Trägheitsmoment für die schiefe Drehachse berechnen. Du benötigst nur den Trägheitstensor, der eine 3x3-Matrix darstellt. Wenn du diese Matrix kennst, kannst du daraus das Trägheitsmoment für alle beliebigen "schiefen" Richtungen gewinnen. Ich beschreibe dir mal, wie das geht: Die Rotationsenergie eines einzelnen Massepunktes lautet $\begin{eqnarray} T=\frac{1} {2}m \vec v^{2} \end{eqnarray}$ bei Drehbewegungen kann man die Geschwindigkeit mittels $\begin{eqnarray} \vec v=\vec \omega \times \vec x \end{eqnarray}$ ausdrücken. Damit wird aus der kinetischen Energie $\begin{eqnarray} T=\frac{1} {2}m (\vec \omega \times \vec x)^{2} \end{eqnarray}$ Hier setzt man die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec \omega = (\omega_1\|\omega_2\|\omega_3) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec x = (x_1\|x_2\|x_3) \end{eqnarray}$ explizit ein und multipliziert das Skalarprodukt der beiden Kreuzprodukte aus. Man erhält eine lange Summe, die man wie folgt in Matrixschreibweise zusammenfassen kann: $\begin{eqnarray} T=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}) & mx_1 x_2 & mx_1 x_3 \\ mx_2 x_1 & m(x_{1}^{2}+x_{3}^{2}) & mx_2 x_3 \\ mx_3 x_1 & mx_3 x_2 & m(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In deinem Fall haben wir keinen einzelnen Massepunkt, sondern einen starren Körper, den man als starres Gitter aus n Massepunkten mit den Massen $\begin{eqnarray} m_k \end{eqnarray}$ auffassen kann, die sich an den Orten $\begin{eqnarray} \vec x_{k} \end{eqnarray}$ befinden. Dann muss man also über die n Punkte summieren und erhält für die kinetische Energie $\begin{eqnarray} T=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^n m_k(x_{k2}^{2}+x_{k3}^{2}) & \sum_{k=1}^n m_k x_{k1} x_{k2} & \sum_{k=1}^n m_k x_{k1} x_{k3} \\ \sum_{k=1}^n m_k x_{k2} x_{k1} & \sum_{k=1}^n m_k (x_{k1}^{2}+x_{k3}^{2}) & \sum_{k=1}^n m_k x_{k2} x_{k3} \\ \sum_{k=1}^n m_k x_{k3} x_{k1} & \sum_{k=1}^n m_k x_{k3} x_{k2} & \sum_{k=1}^n m_k (x_{k1}^{2}+x_{k2}^{2}) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann man den Körper als kontinuierlich verteilte Masse auffassen, so ist das Summenzeichen durch ein Integral zu ersetzen. Die Matrix wird als Trägheitstensor bezeichnet. Offenbar ist diese Matrix symmetrsich in den beiden Indizes, so dass von den 9 Matrixelementen nur 6 Stück unabhängig sind. Wir zerlegen die Winkelgeschwindigkeit gemäß $\begin{eqnarray} \vec \omega = \|\vec \omega\|\cdot \vec n \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ der Einheitsrichtungsvektor der Winkelgeschwindigkeit ist, also die Drehachse. Dann kann man die kinetische Energie wie folgt darstellen: $\begin{eqnarray} T=\frac {1} {2} (\vec n \cdot J \vec n) \cdot \|\vec \omega\|^{2} \end{eqnarray}$ Diese Darstellung der kinetischen Energie als quadratische Form hat folgenden Vorteil: Bei Kenntnis der Matrix J für irgendeine Lage des Körpers kann man das Trägheitsmoment $\begin{eqnarray} \vec n \cdot J \vec n \end{eqnarray}$ für jede beliebige "schiefe" Drehrichtung mittels Matrixmultiplikation sofort ausrechnen. Fazit: Berechne den Trägheitstensor für eine "gerade" Trägheitsachse durch den Mittelpunkt des Quaders. Das sind 6 Integrale. Dann berechne die "schiefe" Drehachse $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ , deren Winkel von der Geometrie des Quadrers abhängt. Bilde dann den Ausdruck $\begin{eqnarray} \vec n \cdot J \vec n \end{eqnarray}$ . Das ist das skalare Trägheitsmoment für diese Richtung. Im Trägheitstensor steckt also die gesamte Information für beliebige Drehrichtungen.
23.07.2009, 14:37	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Quader ist das Berechnen des Trägheitstensors übrigens besonders einfach, weil aus Symmetriegründen diejenigen Integrale, die nicht in der Hauptdiagonalen der Matrix J stehen, verschwinden. Man nennt diese Integrale "Devationsmomente". Übrig bleiben nur die 3 sogenannten Hauptträgheitsmomente $\begin{eqnarray} J_{11}, J_{22}, J_{33} \end{eqnarray}$ in der Hauptdiagonalen der Matrix. Dafür gibt es auch Formeln in Tabellenbüchern. Du musst also nur den "schiefen" Vektor $\begin{eqnarray} \vec n=(n_1\|n_2\|n_3) \end{eqnarray}$ berechnen. Da die Nichtdiagonalelemente wegfallen, bekommst das Trägheitsmoment für die schiefe Achse die besonders einfache Gestalt $\begin{eqnarray} J=J_{11} \cdot n_{1}^{2}+J_{22}\cdot n_{2}^{2}+J_{33}\cdot n_{3}^{2} \end{eqnarray}$
01.08.2009, 11:03	mono	Auf diesen Beitrag antworten »
schiefe Rotationsachsen Das Problem ist nur, dass ich den Trägheitstensor nicht verwenden soll. Es soll ganz allein durch die definition des Integrals gelöst werden. Ich brauche also eine Abstandsfunktion in bezug auf die raumdiagonale!!! Vielleicht kannst du mir nocheinmal helfen. Vielen Dank im Voraus
01.08.2009, 11:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was verstehst du unter "Abstandsfunktion"? Ist das einfach der senkrechte Abstand $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ eines Punktes $\begin{eqnarray} (x,y,z) \end{eqnarray}$ von der Geraden durch die Punkte $\begin{eqnarray} (0,0,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a,b,c) \end{eqnarray}$ ? Wenn es das wäre, ist die Lösung einfach: $\begin{eqnarray} d = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \left\| \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \right\| \end{eqnarray}$ Mehr kann ich dazu leider nicht sagen, da ich die Geheimsprache der Physiker hinsichtlich der Mathematik nicht verstehe.
04.08.2009, 10:19	mono	Auf diesen Beitrag antworten »
schiefe Rotationsachsen Abstandsfunktion bedeutet: Es soll jeder (Massen-)punkt des Quaders durch eine Funktion beschrieben werden, die den senkrechten Abstand des Punktes zur Achse (hier die Raumdiagonale) beschreibt. Natürlich eine Funktion mit der ich den Abstand aller Punkte in Bezug auf diese Achse ausdrücke. Schlussendlich soll diese Funktion dann über den Raum (dx dy dz) integriert werden-was dann nicht mehr das Problem sein sollte... Mir fehlt also wie gesagt der Ansatz eine geeignete Abstandsfunktion aufzustellen. Dein Kreuzprodukt gibt mir den Abstand des Punktes (xyz) zu (abc)-ich brauche doch aber den Abstand des Punktes (xyz) zur Achse. Hast du dein koordinatensystem in den Körpermittelpunkt gelegt, sodass die Koordinatenachsen parallel zu den Seitenlängen liegen?? Ich steig da noch nich so ganz durch!! trotzdem schonmal danke!!!
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04.08.2009, 10:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, diese Formel gibt den Abstand zur Diagonalen $\begin{eqnarray} AG \end{eqnarray}$ an. Ich gehe dabei davon aus, daß der Quader die Ecken $\begin{eqnarray} A = (0,0,0), \ B = (a,0,0), \ C = (a,b,0), \ D = (0,b,0), \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E = (0,0,c), \ F = (a,0,c), \ G = (a,b,c), \ H = (0,b,c) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b,c > 0 \end{eqnarray}$ hat. So hat beispielshalber der Punkt $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ von der Diagonalen den Abstand $\begin{eqnarray} d = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \left\| \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \times \begin {pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\| = \frac{a \cdot \sqrt{b^2 + c^2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \end{eqnarray}$ Das stimmt im konkreten Beispiel auch mit der Anschauung überein. Denn die Seiten der Gleichung $\begin{eqnarray} d \cdot \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = a \cdot \sqrt{b^2 + c^2} \end{eqnarray}$ berechnen beide den doppelten Flächeninhalt des bei $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ rechtwinkligen Dreiecks $\begin{eqnarray} ABG \end{eqnarray}$ .

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