Bivariate Normalverteilung |
| 23.07.2009, 13:13 | thewho88 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Bivariate Normalverteilung Mir ist gerade aufgefallen, dass die bivariate Normalverteilung nicht definiert ist für einen Korrelationskoeffizienten mit Absolutbetrag 1. Ich kann mir aber irgendwie gerade keinen Reim darauf machen, warum zwei linear abhängige normalverteilte stochastische Größen X, Y keine gemeinsame Dichte haben sollten. Gefunden hab ich dazu nirgends was, also wird die Antwort fürcht ich ziemlich trivial sein. Sitz leider aber grad ziemlich auf der Leitung. Danke schonmal... |
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| 23.07.2009, 13:46 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ein -dimensionaler Zufallsvektor , der auf einer Lebesgue-Nullmenge verteilt ist, d.h. und kann schon gemäß Definition nicht stetig sein und eine Dichte besitzen, denn die Grundvoraussetzung dazu ist die Absolutstetigkeit , die durch (*) offenbar verletzt wird (siehe Satz von Radon-Nikodym). Warum (*) nun bei einem solchen zweidimensionalen Vektor mit Korrelation 1 gilt, kannst du dir selbst überlegen, am besten unter direkter Angabe der Menge . |
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| 24.07.2009, 11:25 | thewho88 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hät mir ne einfachere Antwort erwartet, aber trotzdem danke! |
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| 24.07.2009, 15:39 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zum wiederholten Male: Ich verzichte liebend gern auf dieses trotzige Danke. 
Mach einen besseren Vorschlag, das wäre dann wenigstens konstruktiv. |
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| 25.11.2009, 10:57 | Scherben | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist aber auch eine ziemlich kryptische Antwort auf eine durchaus sinnvolle Frage gewesen. Der Grund ist folgender: Wenn X und Y gemeinsam normalverteilt sind und eine Korrelation von +1 oder -1 besitzen, dann sind gilt X = aY + b fast sicher. Entsprechend liegen die möglichen Werte, die (X,Y) annimt, auf einer Geraden. |
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| 25.11.2009, 11:22 | Royal Tomek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast gerade ein Problem erkannt, das entsteht, wenn du die Normalverteilung über ihre Dichte definierst. Was ist zB, wenn du (mal bei einer eindimensionalen) Normalverteilung gleich 0 setzt? Dann hast du im Grunde eine Einpunktverteilung ohne Dichte. Oder was ist, wenn X normalverteilt ist und du dir die bedingte Verteilung (X|X) ansiehst, also die Verteilung von X bedingt auf sich selbst? Das ist auch eine Verteilung ohne Dichte. Damit du bei diesen (zugegebenermaßen Sonder-)Fällen keine Probleme erhältst, solltest du die (mehrdimensionale) Normalverteilung anders definieren, also über ihre charakteristische Funktion. |
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