Sinnvolle Einschränkungen für Operator von (R->R) -> (R²->R)

23.07.2009, 18:20

ethrandil

Sinnvolle Einschränkungen für Operator von (R->R) -> (R²->R)

Hallo,

ich habe folgendes Problem, das ich mit meinen bescheidenen Analysis-Kentnissen bisher nicht lösen konnte. Ich erhoffe mir von euch Vorschläge zur Lösung und Recherche.

Gegeben ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} t:~\mathbb R ~\rightarrow ~\mathbb R \end{eqnarray*}$ , die Achsensymmetrisch ist. Diese Funktion soll sinnvoll auf eine Funktion $\begin{eqnarray*} t_2:~\mathbb R^2 ~\rightarrow ~\mathbb R \end{eqnarray*}$ abgebildet werden.

Wenn ich die Dinge, die ich über Funktionalanalyse überflogen habe, richtig verstehe, dann übernimmt diese Aufgabe ein Operator $\begin{eqnarray*} t_2(~\vec{x}) = A(t)(~\vec{x}) = At \end{eqnarray*}$ , oder? (Ob das Hilft? Keine Ahnung...)

Essenziell ist natürlich die Definition dessen was hier sinnvoll bedeuten soll. Ein kriterium das ich angeben kann ist, dass der Operator linear bezüglich Multiplikation $\begin{eqnarray*} A(a*b)=Aa*Ab \end{eqnarray*}$ oder bezüglich Addition $\begin{eqnarray*} A(a+b)=Aa+Ab \end{eqnarray*}$ (oder beides) sein soll. In letzterem Fall hat man es wohl mit einem linearen Operator zu tun, aber was ist im ersten Fall?

Eine weitere Bedingung die ich an die Funktionen habe ist, dass eine 'hügelförmige' Funktion, die links von 0 steigt, und danach fällt, auch auf eine hügelförmige $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ Funktion abgebildet werden soll. Das Kriterium dafür dürfte sein $\begin{eqnarray*} x t'(x) ~\leq 0 \Rightarrow ~\vec{x}~\nabla t_2(~\vec{x}) = id (~\nabla A) ~\leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Die Frage die ich habe ist: Welche Voraussetuungen kann ich an den Operator stellen, um das Kriterium folgern zu können? Oder muss ich das voraussetzen? Und was folgt dann daraus für den Operator?

Ein Beispiel für einen passenden Operator wäre z.B. $\begin{eqnarray*} A(t)(~\vec{x})=t(~\| ~\vec{x} ~\|) \end{eqnarray*}$ . Es wäre super, wenn auch $\begin{eqnarray*} A(t)(~\vec{x})=t(x_1)t(x_2) \end{eqnarray*}$ einen passenden Operator definieren würde, denn in meinen bisherigen Überlegungen fällt dieser immer aus dem Schema.

Bitte antwortet ruhig auch bei losen, fast haltlosen Vermutungen, denn vielleicht bringts mich ja trotzdem weiter. Wie gesagt, mir reicht vielleicht schon das richtige Schlagwort um selber eine Lösung zu finden.

Danke fürs Lesen! =)

PS: $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist außerdem beschränkt, nicht unbedingt stetig; aber fouriertransformierbar. Ebenso wie $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ .

23.07.2009, 19:51

WebFritzi

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Dir muss gesagt werden, was der Operator alles können soll. Ansonsten kannst du die Aufgabe nicht bearbeiten.

23.07.2009, 20:20

ethrandil

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Da ich mir die Aufgabe selber gestellt habe ist das jetzt natürlich schwierig.

Konkret geht es darum aus einer reellen, y-achsen-symmetrischen Transferfunktion über R eine reelle, z-achsensymmetrische über R² zu erzeugen und dann die Eigenschaften der jeweils invers Fouriertransformierten zu untersuchen.

Ein paar Kriterien die ich mir überlegt habe wären z.B. noch: in $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ liegt jeder Punkt auf einer Gerade entlang derer t (skaliert und gestreckt) abzulesen ist: $\begin{eqnarray*} ~\forall ~\vec{w} ~\exists g : (\vec{w} ~\in g \wedge t_2(g(a)) = s t(v a)) \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich fordere, dass alle diese Geraden durch den Ursprung verlaufen, habe ich glaube ich damit (höchstens) die Funktionen der Form $\begin{eqnarray*} t(L(\vec{w})) \end{eqnarray*}$ , wobei L symmetrisch und in jede Richtung streng monoton steigend ist, erfasst.

Für diese Funktionen gilt, dass ein Tiefpass ein Tiefpass bleibt (das ist das 2. Kriterium des ersten Postings) und dass auch Band/Hochpässe als solche erhalten bleiben.

Für eine Abbildung ala At(x) = t(x1)t(x2) gilt das nur für Tiefpässe und nicht für band- und hochpass. Mhmhmm...

Wenn euch etwas dazu einfällt wär ich froh es zu lesen, ansonsten überlege ich mal weiter...

Ich frag mich halt, aus welchen Voraussetzungen man überhaupt elegant $\begin{eqnarray*} x t'(x) ~\leq 0 \Rightarrow ~\vec{x}~\nabla t_2(~\vec{x}) = id (~\nabla A) ~\leq 0 \end{eqnarray*}$ folgern könnte!

24.07.2009, 03:12

WebFritzi

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Zitat:

Original von ethrandil
in $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ liegt jeder Punkt auf einer Gerade entlang derer t (skaliert und gestreckt) abzulesen ist: $\begin{eqnarray*} ~\forall ~\vec{w} ~\exists g : (\vec{w} ~\in g \wedge t_2(g(a)) = s t(v a)) \end{eqnarray*}$ .

Glaubst du wirklich, man versteht das? verwirrt

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