Konvergenzkriterium - Integrationskrit oder Minorantenkrit.?

23.07.2009, 18:24

rappozappo

Konvergenzkriterium - Integrationskrit oder Minorantenkrit.?

Hey, hab folgende Aufgabe und soll Konvergenz/Divergenz beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{n \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Habe mir gedacht, ich benutzde einfach mal das Minorantenkriterium:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{n \sqrt{n}} \geq \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

hab wo gelesen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergent ist und hab so darauf geschlossen, dass auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ divergent sein muss?
__________

Wenn ich aber das Integrationskrit. benutze (von 1 bis unendlich) kommt eine "2" raus und demnach wäre meine Summenfunktion konvergent, da meine funktion ohne das Summenzeichen eine Nullfolge sein muss (wegen der "2" vom Ergebnis des Integrals).

Ich frage mich jetzt nur, warum meine erste Methode dann falsch ist? Wo habe ich den Fehler gemacht?

23.07.2009, 19:04

klarsoweit

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RE: Konvergenzkriterium - Integrationskrit oder Minorantenkrit.?
Vielleicht sollten wir uns erstmal darauf einigen, ob es um $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~n \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ oder um $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{n \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ geht.

Im übrigen gilt nicht allgemein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n \sqrt{n}} \geq \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ , wie man leicht für n=9 nachrechnet. Augenzwinkern

23.07.2009, 19:18

rappozappo

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achh ja ... stimmt^^

also habs oben editiert ... hatte mcih verschreiben, sorry

Integrationskriterium:

$\begin{eqnarray*} \int_{1 }^{\infty}~\frac{1}{n\sqrt{n}} ~dn = -[2n^{-\frac{1}{2}}]_{1}^{\infty} = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

kann ich denn jetzt meine Begründung dafür nehmen?:

Wenn eine Zahl (nicht unendlich oder 0) rauskommt, ist meine Summenfunktion konvergent, da meine funktion ohne das Summenzeichen eine Nullfolge sein muss (wegen der Zahl als Ergebnis des Integrals).
_______________

Naja, gibt es einen Trick ( oder wie ich es glecih sehe), wenn ich das integrationskriterium nehmen soll? Oder muss ich das einfach nehmen, wenn ich alle anderen Methoden nicht anwenden kann?
Und das ist jetzt wegen dem integralkrit nur konvergent ... nicht absolut konvergent, oder?

23.07.2009, 19:22

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Eine konvergente Reihe mit positiven Gliedern ist von Haus aus auch absolut konvergent - schau dir mal die Definition der absoluten Konvergenz an!!!

24.07.2009, 00:37

rappozappo

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"Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn die aus den Absolutbeträgen der Glieder gebildete Reihe konvergent ist"

Also ich versteh das auch so, dass eine Reihe mit nur positiven Gliedern absolut konvergent ist.
Wenn ich aber z.B. die Reihe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ nehme, ist sie ja auch nicht konvergent, sondern divergent. Obwohl ja n>0 definiert ist und die Folge auch positiv ist.
Wenn man aber eine Negative Zahl für das "n" einsetzen WÜRDE, würde es halt negativ werden.
Nicht so bei der Reihe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ - die ist dann wieder konvergent.

Also die Reihe "n" wäre dann auch divergent ... n² konvergent ...n³ divergent .... kann ich das dann so sagen?

Also wenn das stimmt, wär voll das Rätsel für mich gelöst smile

24.07.2009, 04:17

WebFritzi

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Zitat:

Original von rappozappo
Also die Reihe "n" wäre dann auch divergent ... n² konvergent ...n³ divergent .... kann ich das dann so sagen?

Also wenn das stimmt, wär voll das Rätsel für mich gelöst smile

Leider ist voll das Rätsel so nicht gelöst, da deine Behauptung Humbug ist. Du meinst außerdem 1/n, 1/n², 1/n³ usw. und nicht n, n² und n³. Dann schreib das auch! Und negative Zahlen setzt man für n halt nicht ein, weil für n die Zahlen von 1 bis Unendlich eingesetzt werden. Allgemein gilt übrigens

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\,\frac 1 {n^k} \;\;\text{ ist }\,\begin{cases}\text{konvergent, falls }\,k>1\\ \text{divergent, falls }\,k\le 1.\end{cases} \end{eqnarray*}$

24.07.2009, 04:29

rappozappo

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Also kann man dann absolute konvergentz dann wie anders beschreiben, so dass ichs raffe?
Ich mein, es gibt ja nicht nur die folgen 1/(n^x) ...

Und ne, ich hatte schon |n^x| gemeint und net |1/(n^x)| ... weil ich die Definition von der absoluten Konvergenz mit dem "absolutbetrag" nicht verstehe.
Dachte ja bis jetzt immer "ABsolutbetrag/Betrag" ist, wenn eine Zahl immer ins Positive umgewandelt wird, selbst wenn sie ein negatives Vorzeichen hat.
Und das geht ja sowie bei dem |(1/n^x)| als auch beim |n^x| .... wobei ich weiß, dass ||n^x divergent ist, obwohl immer positiv wegen dem Betrag. Also widersprichts ja meinem Verständnis der Beschreibung der absoluten Konvergenz.

Danke, dass du dich Nachts so gut um mich kümmerst smile

24.07.2009, 04:40

WebFritzi

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OK, werd erstmal wieder nüchtern und schreib das nochmal. Augenzwinkern

24.07.2009, 13:03

rappozappo

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habs jetzt nochmal editiert... obwohl ich nicht besoffen war, sondern nur müde^^

24.07.2009, 14:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von rappozappo
Und ne, ich hatte schon |n^x| gemeint und net |1/(n^x)| ... weil ich die Definition von der absoluten Konvergenz mit dem "absolutbetrag" nicht verstehe.
Dachte ja bis jetzt immer "ABsolutbetrag/Betrag" ist, wenn eine Zahl immer ins Positive umgewandelt wird, selbst wenn sie ein negatives Vorzeichen hat.
Und das geht ja sowie bei dem |(1/n^x)| als auch beim |n^x| .... wobei ich weiß, dass ||n^x divergent ist, obwohl immer positiv wegen dem Betrag. Also widersprichts ja meinem Verständnis der Beschreibung der absoluten Konvergenz.

Also ehrlich gesagt verstehe ich auch nicht, was du damit sagen willst und wo deine Probleme mit der absoluten Konvergenz sind. Schau dir am besten einfach nochmal die Definition an.

24.07.2009, 14:37

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Keine Ahnung, ob rappozappo besoffen war, aber wenn ich mir diesen von klarsoweit jetzt zitierten Beitrag durchlese, dann fühle ich mich besoffen beim Durchlesen all der wilden unlogischen Gedankenspringerei. Augenzwinkern

29.07.2009, 14:19

rappozappo

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Zut mir echt leid ... ich glabue ich kann mein Poblem hier net so gut erklären.
Ein Freund hats verstanden und wirds mir erklären. Er hat mein Problem auch verstanden.

Danke trotzdem für alle vorigen Beiträge. Hat mich mit dem Verständnis auch sehr weitergebracht.

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