Poincaré-Lemma, Gradientenfeld <-> Zentralvektorfeld

23.07.2009, 22:14

-Christian-

Poincaré-Lemma, Gradientenfeld <-> Zentralvektorfeld

Hallo,

zur Prüfungsvorbereitung beschäftige ich mich gerade mit folgender Aufgabe und finde nicht so wirklich einen Anfang. Ich würde mich freuen, wenn einer von euch mir auf die Sprünge helfen könnte:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} h: (0, \infty) \longrightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig und $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^{m} \setminus \{0\} \longrightarrow \mathbb{R}^{m} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(x) = h(|x|)\frac{x}{|x|} \end{eqnarray*}$ .

Untersuchen Sie, ob es sich dabei um ein Gradientenfeld handelt!

Grundsätzlich würde ich ja einfach das Lemma von Poincaré anwenden und prüfen, ob

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}} \end{eqnarray*}$

Jedoch gilt dieses Lemma nur für sternförmige Gebiete. Und die obige Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{m} \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ ist ja leider nicht sternförmig. Dann wären da noch die äuivalenten Charakterisierungen für Gradientenfelder (Wegunabhängigkeit der Kurvenintegrale <-> Kurvenintegrale über geschlossene Wege verschwinden <-> Gradientenfeld), aber hier finde ich keinen gescheiten Ansatzpunkt. Wäre schön, wenn ihr mir helfen könntet!

Danke!

Gruß,
Christian

24.07.2009, 03:59

WebFritzi

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RE: Poincaré-Lemma, Gradientenfeld <-> Zentralvektorfeld

Zitat:

Original von -Christian-
Grundsätzlich würde ich ja einfach das Lemma von Poincaré anwenden und prüfen, ob

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}} \end{eqnarray*}$

Jedoch gilt dieses Lemma nur für sternförmige Gebiete. Und die obige Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{m} \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ ist ja leider nicht sternförmig.

Das ist nicht so wichtig. Wichtiger ist noch, dass h - und damit auch f - nicht diffbar sein muss. Also wäre das Poincaré-Lemma auch für sternförmige Gebiete nicht anwendbar, solange h jedenfalls nicht diffbar ist.

Aber wenn wir mal annehmen, h sei diffbar, und das Poincaré-Lemma testen, stoßen wir auf ein positives Ergebnis. Das ist doch mal ein Anhaltspunkt. Jetzt nehmen wir uns irgendeinen Punkt, der nicht der Nullvektor ist, und legen eine Halbgerade von diesem aus durch den Nullpunkt und immer weiter bis ins unendliche. Nennen wir diese Halbgerade g, dann ist $\begin{eqnarray*} G := \mathbb R^m\setminus g \end{eqnarray*}$ ein sternförmiges Gebiet, und bei diffbarem h ist f auf dieser Menge ein Gradientenfeld. Jetzt nimm dir einen Punkt auf g\{0}. In einer offenen Kugel K um diesen Punkt hat f ein Potential (nach Poincaré und wegen der Sternförmigkeit der Kugel). Und da der Schnitt von K mit G offen und nichtleer ist, hat f auf $\begin{eqnarray*} G\cup K \end{eqnarray*}$ ein- unddasselbe Potential. Da du das für jeden Punkt auf g\{0} machen kannst, ist f ein Gradientenfeld.

Also müsste h schon nicht diffbar sein, damit f kein Gradientenfeld ist. Aber das alles führt uns in eine völlig falsche Richtung. Die Lösung ist viel trivialer. Man gibt einfach ein Potential von f an. Augenzwinkern

Denk mal an eine Stammfunktion von h.

24.07.2009, 09:52

Sly

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RE: Poincaré-Lemma, Gradientenfeld <-> Zentralvektorfeld

Zitat:

Aber wenn wir mal annehmen, h sei diffbar, und das Poincaré-Lemma testen, stoßen wir auf ein positives Ergebnis. Das ist doch mal ein Anhaltspunkt. Jetzt nehmen wir uns irgendeinen Punkt, der nicht der Nullvektor ist, und legen eine Halbgerade von diesem aus durch den Nullpunkt und immer weiter bis ins unendliche. Nennen wir diese Halbgerade g, dann ist $\begin{eqnarray*} G := \mathbb R^m\setminus g \end{eqnarray*}$ ein sternförmiges Gebiet, und bei diffbarem h ist f auf dieser Menge ein Gradientenfeld. Jetzt nimm dir einen Punkt auf g\{0}. In einer offenen Kugel K um diesen Punkt hat f ein Potential (nach Poincaré und wegen der Sternförmigkeit der Kugel). Und da der Schnitt von K mit G offen und nichtleer ist, hat f auf $\begin{eqnarray*} G\cup K \end{eqnarray*}$ ein- unddasselbe Potential. Da du das für jeden Punkt auf g\{0} machen kannst, ist f ein Gradientenfeld.

Also mit der Argumentation stimmt was nicht.
Du benutzt ja nirgends die genauere Definition von f, sondern nur die Tatsache, dass es obige Vertauschungseigenschaften erfüllt. Also würde nach deiner Argumentation folgen, dass alle differenzierbaren Vektorfelder auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^m\setminus{0} \end{eqnarray*}$ , die die Vertauschungseigenschaft erfüllen, auch ein Gradientenfeld wären. Das ist aber definitiv falsch!

Der Fehler dürfte meines Erachtens genau hier liegen

Zitat:

Und da der Schnitt von K mit G offen und nichtleer ist, hat f auf $\begin{eqnarray*} G\cup K \end{eqnarray*}$ ein- unddasselbe Potential. Da du das für jeden Punkt auf g\{0} machen kannst, ist f ein Gradientenfeld.

Du kannst Stammfunktionen im Allgemeinen nicht einfach so widerspruchsfrei "verkleben".

Ich schätze mal, der zweite Vorschlag ist da eher genau das, worauf die Aufgabe abzielt Augenzwinkern

24.07.2009, 12:32

WebFritzi

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RE: Poincaré-Lemma, Gradientenfeld <-> Zentralvektorfeld

Zitat:

Original von Sly

Zitat:

Ich habe auch etwas gezögert. Aber ich finde unten keinen Fehler. Hast du ein Gegenbeispiel?

Zitat:

Original von Sly
Der Fehler dürfte meines Erachtens genau hier liegen

Zitat:

Du kannst Stammfunktionen im Allgemeinen nicht einfach so widerspruchsfrei "verkleben".

Hier geht das aber IMHO. Nochmal also die Argumentation: f hat auf G ein Potential P. Also gilt P' = f auf G. Nehmen wir uns nun einen Punkt x auf g\{0} und eine Kugel K um x, die die Null nicht enthält. f hat in K ein Potential Q. Auf dem Schnitt S von G und K gilt: (P - Q)' = 0, also ist P - Q konstant auf S, und wir dürfen P = Q auf S annehmen. Somit ist P (eindeutig) stetig fortsetzbar auf $\begin{eqnarray*} G\cup K \end{eqnarray*}$ , und diese Fortsetzung ist sogar diffbar und ein Potential von f auf $\begin{eqnarray*} G\cup K. \end{eqnarray*}$ Ich sehe hier keinen Fehler.

EDIT: Ich sehe jetzt meinen Fehler. Hier ist er: "und wir dürfen P = Q auf S annehmen." Das ist falsch, da S nicht zusammenhängend ist!

Zitat:

Original von Sly
Ich schätze mal, der zweite Vorschlag ist da eher genau das, worauf die Aufgabe abzielt Augenzwinkern

Das denke ich auch.

24.07.2009, 13:00

-Christian-

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Hallo WebFritzi und Sly,

vielen Dank für eure Antworten!

Dann versuche ich mich mal am Finden eines Potentials. Sei h also die Ableitung einer Stammfunktion $\begin{eqnarray*} H(|x|): (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , die nach dem HDI existieren muss. Sei weiterhin $\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine skalare Funktion, für die gilt $\begin{eqnarray*} \nabla \phi = f \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt wegen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (f_1, f_2, ..., f_m) = h(|x|)\frac{x}{|x|} = \frac{h(|x|)}{|x|}(x_1, x_2, ... , x_m) \end{eqnarray*}$

also die folgende Beziehung:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \phi}{\partial x_i} = f_i = h(|x|) \frac{x_i}{|x|} \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ also das Potential von f, für den Fall, dass ein solches $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ überhaupt existiert. Damit bleibt zu zeigen, dass es das tut.

Betrachtet man nun die partielle Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial H(|x|)}{\partial x_i} \end{eqnarray*}$ für alle i = 1, 2, ..., m, dann findet man:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial H(|x|)}{\partial x_i} = \frac{\partial H(|x|)}{\partial |x|} \frac{\partial |x|}{\partial x_i} = h(|x|) \frac{x_i}{|x|} \end{eqnarray*}$

Und das ist zufälligerweise ganz wunderbar, weil damit der Gradient von H(|x|) gerade

$\begin{eqnarray*} \nabla H = (\frac{\partial H(|x|)}{\partial x_1}, \frac{\partial H(|x|)}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial H(|x|)}{\partial x_m}) = \frac{h(|x|)}{|x|}(x_1, x_2, ... , x_m) = f = \nabla \phi \end{eqnarray*}$

ist. Also ist $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ gerade das gesuchte Potential $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und damit ist f ein Gradientenfeld.

Vielen Dank für eure Hilfe! smile

In dem Fall war das finden der Stammfunktion ja relativ einfach, aber was tue ich, wenn die Funktion f etwas komplizierter wird und das Integrieren einer Komponente des f (um dann die partielle Ableitung des Potentials nach einem $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ zu finden) im Allgemeinen keine triviale Aufgabe ist? Hilft da nur Probieren oder gibt es da auch ein etwas strukturierteres Verfahren?

25.07.2009, 17:56

WebFritzi

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Zitat:

Original von -Christian-
In dem Fall war das finden der Stammfunktion ja relativ einfach, aber was tue ich, wenn die Funktion f etwas komplizierter wird und das Integrieren einer Komponente des f (um dann die partielle Ableitung des Potentials nach einem $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ zu finden) im Allgemeinen keine triviale Aufgabe ist? Hilft da nur Probieren oder gibt es da auch ein etwas strukturierteres Verfahren?

Man kann es z.B. ganz naiv mit Integrieren versuchen. Das geht hier nicht wirklich, da f nicht explizit gegeben ist. Außerdem: Existiert ein Potential, dann ist

$\begin{eqnarray*} P(x) = \int_{x_0}^x\,f\,ds \end{eqnarray*}$

ein solches, wobei über die Strecke zwischen einem festen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und x integriert wird (Kurvenintegral). So läuft auch der Beweis des Lemmas von Poincaré.

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