Laplace Transformation

24.07.2009, 16:25

mowmow

Laplace Transformation

hello, bin gerade am Analysis 2 pauken ud sitze hier vor folgendem Problem:

Gegeben: y´´-5y´+6y = 2e^(-t); y(0)=0, y´(0)= 1

Mit Hilfe von Laplace soll diese Anfangsproblem gelöst werden. Mir fehlt hier zunächst erstmal der formale Ansatz, um mein F(s) bestimmen zu können. mein g(t) ist doch: 2e^(-t) oder? bzw ist mein F(s) dann doch die Bildfunktion zu g (t) ?? also sprich -> F(s) = 1/(s+1) ??? wenn ja, was wäre dann mein nächster Schritt? sitze hier total auf dem Schlauch ...

24.07.2009, 16:27

mowmow

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RE: Laplace Transformation
äh meine natürlich mein F(s) = 2/(s+1)

... so habe jetzt aus aufzeichnungen entnommen, dass F(s) sich folgendermaßen zusammensetzt:

F(s) = (1+2*(1/s+1) * 1/(s²-5s+6)

und jetzt versteh ich es wirklich nicht mehr. Ich kann die Zahlen natürlich alle zuordnen, aber welchem Formalismus wurde hier gefolgt ?

26.07.2009, 23:19

Abakus

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RE: Laplace Transformation

Zitat:

Original von mowmow
Gegeben: y´´-5y´+6y = 2e^(-t); y(0)=0, y´(0)= 1

Mit Hilfe von Laplace soll diese Anfangsproblem gelöst werden. Mir fehlt hier zunächst erstmal der formale Ansatz, um mein F(s) bestimmen zu können. mein g(t) ist doch: 2e^(-t) oder? bzw ist mein F(s) dann doch die Bildfunktion zu g (t) ?? also sprich -> F(s) = 1/(s+1) ??? wenn ja, was wäre dann mein nächster Schritt? sitze hier total auf dem Schlauch ...

Ich weiß natürlich nicht, was du als g bezeichnest. Die Idee ist jedenfalls, die DGL auf beiden Seiten zu transformieren (du brauchst u.a. den Differentiationssatz), nach L[y] aufzulösen, und dann zurück zu transformieren.

Also ist der erste Schritt, die Transformation mal hinzuschreiben.

Grüße Abakus smile

29.07.2009, 15:17

iCenturio

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Moin Koche,

Der erste Schritt ist die Transformation in den Bildbereich:

$\begin{eqnarray*} \left[s^2\cdot Y(s)-s\cdot y(0)-y'(0)\right]+5\left[s\cdot Y(s)-s-y(0)\right]+6Y(s)=F(s) \end{eqnarray*}$

Jetzt löst du nach Y(s) auf. Die Transformation von F(s) kannst du bspw. im Papula einsehen (Dort Nr.6):

$\begin{eqnarray*} Y(s)\cdot (s^2+5s+6)-1=F(s) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(s)=\frac{1}{(s-a)^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt Y(s) und den Rest trennen:

$\begin{eqnarray*} Y(s) = \frac{1}{(s-a)^2} \cdot \frac{1}{s^2+5s+6}+\frac{1}{s^2+5s+6} \end{eqnarray*}$

Aus dem Teil vor dem Summenzeichen kannst du mittels quadratischer Erweiterung zu einem Binom das Faltprodukt bilden. Der Teil hinter dem Summenzeichen kann direkt mit quadr. Ergänzung und der Laplace-Tabelle zurück in den Originalbereich transferiert werden.

Pockrand verwendet aber auch mal ganz gern die Partialbruchzerlegung, die ein anderes Ergebnis liefert.

Kannst du den Rest? Doppelintegrale und so?

Gruß

Der Russe

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