Bogenlänge

06.06.2004, 20:02	Troggdor	Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlänge Kleine Aufgabe, großes Problem! Hi! Ich mach grad Hausaufgaben und hab da diesen netten Einzeiler, der mich schon mehrere Stunden beschäftigt: Berechnen Sie die Bogenlänge der Funktion $\begin{align} f(x) = \frac{1}{3}x^2 \; fuer \; 0 \leq x \leq \frac{3}{4} \end{align}$ Sieht eigentlich recht harmlos aus. Hier ist meine (unvollständige) Lösung: $\begin{align} f(x) = \frac{1}{3}x^2 \end{align}$ $\begin{align} S = \bigint_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2} dx \end{align}$ $\begin{align} f'(x) = \frac{2}{3} x \end{align}$ $\begin{align} S = \bigint_0^{\frac{3}{4}} \sqrt{1 + \frac{4}{9}x^2} dx \end{align}$ Substitution $\begin{align} x = \frac{3}{2} sinh(t) \end{align}$ $\begin{align} \frac{dx}{dt} = \frac{3}{2} cosh(t) \end{align}$ Obere Grenze: $\begin{align} \frac{3}{4} = \frac{3}{2} sinh(t) \end{align}$ $\begin{align} m = \frac{3}{2} arcsinh(\frac{3}{4}) \end{align}$ $\begin{align} S = \bigint_0^m \sqrt{1 + \frac{4}{9} \cdot (\frac{3}{2} sinh(t))^2} \cdot (\frac{3}{2} cosh(t)) dt \end{align}$ $\begin{align} = \bigint_0^m \sqrt{1 + sinh^2(t)} \cdot (\frac{3}{2} cosh(t)) dt \end{align}$ $\begin{align} = \bigint_0^m cosh(t) \cdot (\frac{3}{2} cosh(t)) dt \end{align}$ $\begin{align} = \bigint_0^m \frac{3}{2} cosh^2(t) dt \end{align}$ $\begin{align} = \frac{3}{2} \bigint_0^m cosh^2(t) dt \end{align}$ Partielle Integration $\begin{align} = \frac{3}{2} \bigint_0^m cosh(t) \cdot cosh(t) dt \end{align}$ $\begin{align} = [sinh(t) \cdot cosh(t)]_0^m - \frac{3}{2} \bigint_0^m sinh(t) \dot sinh(t) dt \end{align}$ $\begin{align} = [sinh(t) \cdot cosh(t)]_0^m - \frac{3}{2} \bigint_0^m cosh^2(t) - 1 dt \end{align}$ $\begin{align} = [sinh(t) \cdot cosh(t) + t]_0^m - \frac{3}{2} \bigint_0^m cosh^2(t) dt \end{align}$ $\begin{align} \frac{3}{2} \bigint_0^m cosh^2(t) dt = [cosh(t) \cdot sinh(t) + t]_0^m - \frac{3}{2} \bigint_0^m cosh^2(t) dt \end{align}$ $\begin{align} /+ \frac{3}{2} \bigint_0^m cosh^2(t) dt \end{align}$ auf beiden Seiten $\begin{align} \frac{6}{2} \bigint_0^m cosh^2(t) dt = [cosh(t) \cdot sinh(t) + t]_0^m \end{align}$ $\begin{align} /:2 \end{align}$ auf beiden Seiten $\begin{align} \frac{3}{2} \bigint_0^m cosh^2(t) dt = [\frac{cosh(t) \cdot sinh(t) + t}{2}]_0^m \end{align}$ Und hier ist der Punkt an dem ich nicht weiter komm. WENN das so alles in Ordnung ist, wie muss ich dann jetzt zurücksubstituiren? BITTE erbarmt euch und rechnet die Aufgabe für mich zuende. Ich weiß es ist etwas viel verlangt, aber ich bin wirklich am Verzweifeln. Vielen Dank schonmal!
06.06.2004, 20:24	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm... Wenn das alles richtig gerechnet ist (was ich nicht überprüft habe), dann musst du nicht rücksubstituieren. Denn die Zahl, die bei deinem substituierten Integral rauskommt, ist dieselbe Zahl, die bei denem unsubstituierten Integral rauskommt.
06.06.2004, 20:32	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Du darfst bei der partiellen Integration (gleich am Anfang) nicht das 3/2 vor der eckigen Klammer vergessen. Das zieht sich bis zum Ende durch, so dass dann für den richtigen Wert des Integrals einfach noch der Faktor 3/2 vor dem Ergebnis auf der rechten Seite fehlt. Bei der Berechnung von m ist dir außerdem ein kleiner Fehler unterlaufen, es gilt ja 3/4=3/2sinh(t) zu lösen und da muss man natürlich erst 3/2 rüberbringen, bevor man die Umkehrfunktion anwendet (die übrigens arsinh, ohne c, heißt), so dass man t=arsinh(1/2) bekommt, und damti mit deiner Bezeichung m=arsinh(1/2). Dadurch, dass du neue Grenzen berechnet hast, musst du jetzt auch nicht mehr rücksubstituieren, $\begin{align} \frac{3}{2}[\frac{\cosh(t)\sinh(t)+t}{2}]^{\mbox{arsinh}(1/2)(=m)}_0 \end{align*}$ (wie gesagt, es fehlt nur das 3/2) ist der richtige Wert für die Bogenlänge.
07.06.2004, 10:29	Troggdor	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank!

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