geometrische Optimierung |
| 24.07.2009, 21:06 | Bjutikwuin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| geometrische Optimierung g(x;y) = 1/(x*y) + x*y + x + y -> Min! unter der Nebenbedingung x,y > 0 Wie fang ich an? Was muss ich tun? Tschuldigt meine Unwissenheit... Danke für eure Hilfe....... 
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| 24.07.2009, 21:25 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ableiten, Null setzen, Lösungen ausrechnen, in die Hesse-Matrix einsetzen. Das sind dann die lokalen Extrema. Dann must du noch das Verhalten der Funktion "im Unendlichen" und an den Rändern untersuchen. |
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| 25.07.2009, 02:13 | Bjutikwuin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo WebFritzi, ich habe die ersten Ableitungen: I) g`(x) = - 1/(y*x^2) + y + 1 und II) g`(y) = - 1/(x*y^2) + x + 1 gebildet. Dann I nach x umgestellt: x = 1/(y^2+y)^1/2 diese in II eingesetzt und folgende Funktion erhalten: y^4 + y^3 - 1 = 0 mit dem Bijektionsverfahren komme ich auf y = 0,82 (zweite nicht relevant da negativ) einsetzen in x = 1/(y^2+y)^1/2 ergibt x = 0,82 nach den Ableitungen g´(x x) ; g´(x y) ; g´(y y) erhalte ich die Hesse-Matrix 4,4236 3,2118 3,2118 4,4236 Hauptabschnittsdeterminanten = 9,2526 und 4,4236 -> beide positiv -> positiv definit -> lokales Minimum..... Stimmt das so? Bin ich damit schon fertig? oder kommt nun noch was? |
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| 25.07.2009, 08:49 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine obige Aufgabenstellung ist zwar in der Hinsicht nicht sehr deutlich, aber zur Sicherheit solltest du auch noch den eigentlichen Minimumwert angeben, nicht nur die Minimumstelle. Ansonsten gibt es aber keine wesentlichen Einwände zu deiner Lösung. Hübsch gemein, aber immerhin mal realitätsnah, dass die auftretende Gleichung 4.Grades keine "angenehme" Lösung hat. 
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| 25.07.2009, 12:26 | Bjutikwuin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Arthur, meinst du mit Minimumwert die globale Minimalstelle? Wenn ja, wie errechne ich diese, und wenn nein, was genau meinst du? LG und Danke für eure schnellen Antworten. |
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| 25.07.2009, 12:49 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Offenbar hast du noch ein paar Unsicherheiten mit den Begriffen: Die globale Minimumstelle ist das, was du ausgrechnet hast, also . Der Minimum- bzw. Minimalwert ist dann der entsprechende Funktionswert an dieser Stelle, d.h., . |
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| 25.07.2009, 13:42 | Bjutikwuin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ist in diesem Fall der Minimalwert Ok falls es zur Lösung keine Einwände gibt, möcht ich euch gern eine andere Aufgabe zeigen: Seien > 0 const. unter der Nebenbedingung: x,y,z > 0 Wie verhält es sich da? |
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| 25.07.2009, 14:00 | Bjutikwuin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zur ersten Aufgabe, wir haben diese ja nun analytisch gelöst, es ist aber eine Aufgabe aus der nichtlinearen Optimierung, gibt es da nicht Unterschiede? |
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| 25.07.2009, 18:02 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nichtlineare Optimierung beinhaltet ganz viel Analysis, falls du das meinst. Du solltest übrigens noch überprüfen, ob deine Funktion an den Rändern und "im Unendlichen" nicht vielleicht noch kleiner als in der lokalen Minimumstelle wird. Die zweite Aufgabe löst du natürlich genau wie die erste. |
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