1.1 A 6 [Bosch]

24.07.2009, 23:09	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
1.1 A 6 [Bosch] Die Aufgabe A6 Sei also G eine endliche abelsche Gruppe. So kann man schreiben: $\begin{eqnarray} G=\{1,g_1,...,g_n\} \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Nun besitzt jedes Element aus G eineindeutig inverses in G. Man könnte also eine Bijektion formulieren $\begin{eqnarray} B: G \to G,~g_i \to g_i^{-1} \quad \forall i \in \{1,...,n\} \end{eqnarray}$ Damit ergibt sich dann, da g abelsch ist $\begin{eqnarray} \prod_{g \in G} g^2 = (1\cdot g_1 \cdot ... \cdot g_n)(1\cdot g_1 \cdot ... \cdot g_n) = \prod_{g \in G} gg^{-1} = 1 \end{eqnarray}$ und somit die Behauptung.
25.07.2009, 10:59	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus. Man beachte dabei, dass eventuell einige Elemente zu sich selbst invers sind, weswegen das Quadrat im Produkt wirklich wichtig ist.
25.07.2009, 13:08	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Rückmeldung. Nun zu deinem Kommentar. Wie meinst du das mit dem Quadrat?
25.07.2009, 17:01	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine nur, dass man ja als nicht so Geübter aufgrund des Beweis auch in Versuchung kommen könnte, $\begin{eqnarray} \prod_{g\in G}~g=1 \end{eqnarray}$ zu behaupten. Das stimmt aber im Allgemeinen nicht. Das Quadrat ist wichtig, weil einige Elemente zu sich selbst invers sein können.
25.07.2009, 17:04	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so.

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