1.1 A3 [Bosch]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
1.1 A3 [Bosch]
Die Aufgabe A3

Als beliebigen Monoid würde ich die natürlichen Zahlen mit der Multiplikation wählen. Dann besitzen die Elemente eine eindeute Darstellung bzgl. der Primfaktorzerlegung. Somit ist die Kürzungsregel (ii) erfüllt, jedoch ist keine Gruppe.

Beim zweiten Teil der Frage weiß ich nicht so recht, was ich benutzen darf. Soweit ich das Kapitel überblicke habe ich nur:
  • Existenz des Einselements
  • Assoziativität
  • endliche Anzahl von Elementen

Ziel muss es doch sein, damit die Existenz (und Eindeutigkeit) der inversen Elemente zu zeigen.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Dein erstes Beispiel ist korrekt.

Ich weiß nicht wieviel Tipps du bei deinem neuem Vorhaben haben willst. Deswegen hier nur die Referenz auf das was du brauchst. Betrachte einmal Definition 4 und das Beispiel (2) nach Bemerkung 6
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den Brotkrumen ist schon ok. Also diese beiden hätte ich nun eher für Aufgabe 4 herangezogen. Aber ok, neuer Blickwinkel auf die Sache. Wir betrachten also die Abbildung (Rechtstranslation):



(ii) bedeutet dann doch gerade, dass diese Abbildung injektiv ist. Soweit richtig und in die richtige Richtung?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Jetzt benutze endlich und du bist nach einem kleinen Lemma fertig.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mmh, also sei G endlich mit n Elementen. Die Abbildung ordnet nun jedem dieser n Elemente ein Bild zu. Es gilt . Da injektiv ist, müssen die Bilder von zwei verschiedenen Element aus G unterschiedlich sein. Es gilt also . Die Abbildung ist also bijektiv.

(ii) gilt ja für alle a aus G. Da bijektiv ist, muss es zu jedem a auch ein g aus G geben mit . Damit hat jedes Element aus G auch ein Inverses und G ist eine Gruppe.

Erstaunt2
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Herzlichen Dank. Das hat echt was gebracht. Freude
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