Kurvenintegral

Neue Frage »

rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral
Hi Leute, ich hoffe, ich brauche nru einen kleinen Denkschubser bei der Aufgabe:

[attach]10975[/attach]

Wie kommt der Professor denn auf die und ???

Ich hätte jetzt einfach genommen:







Bei dem W2,1 könnt ich mir ja noch denken, er hat den Weg genommen, der nicht senkrecht nach unten geht, sondern auch einen x-Achsen-Weg hat (nach rechts). Also W2,1 = X1
Aber denke, das ist falsch, weil sonst auch rauskommen würde/müsste x2=W1,2


Die Formel zum Wegintegral, die ich dann benutze, lautet:

EDIT von Calvin
Bilder bitte nicht extern verlinken sondern direkt im Board hochladen. Danke
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

weiß niemand, wie man auf die X1 udn X2 kommt, oder ist's nur zu umständlich einzutippen?

Mir reichen auch schon ganz oberflächliche oder voll hingeschmierte Ausdrücke und Hinweise. Der Rest der Aufgabe ist dann nur Rechnerei, die ich aber selber hinbekomme.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Bearbeite einfach die Aufgabe. Auf X1 und X2 wirst du dann selber kommen.
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist grade, dass ich nciht weiß, was ich einsetzen soll.
Ich machs mal vor, wie ichs ohne Musterlösung gemacht hatte:



mit w1,1 eingesetzt und dann abgeleitet für das Integral und das Wegintegral für w1,1:

Analog dazu das Wegintegral für w1,2:

Aber glaub net, dass es richtig ist ...
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es auch nicht. Du setzt die falschen Ausdrücke in deine Formel ein. Der erste ist allerdings richtig.
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Hi rappozappo,

bitte lade die Bilder nicht bei externen Anbietern hoch. Dort sind sie nur für begrenzte Zeit verfügbar und der Thread wird irgendwann nicht mehr nachvollziehbar.

Es gibt im Board direkt die Möglichkeit, Bilder hochzuladen. Unter dem Feld, in dem du deine Beiträge schreibst, gibt es den Button Dateianhänge.

Ich hätte dir das gerne als persönliche Nachricht oder Email geschrieben. Aber das hast du ja deaktiviert.
 
 
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

oh, sorry ... habs jetzt geändert (PN aktiviert) ...danke für den Hinweis !!!
... hab jetzt keine Zeit mehr für die Aufgabe ..abrer setz mich in ner Stunde nochmal drann
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Analog dazu das Wegintegral für w1,2:

Ja, so wärs richtig gewesen, oder?

Aber jetzt geht mir ein Licht auf ... könnte es sein dass, ich ein Schnittpunkt berechnen muss? und dann jeweils von 0-schnittpunkt und von schnittpunkt-1 Integriere? Ich versuche es und werd dann berichten, ob ichs dann jetzt habe
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich weiß im Moment eigentlich gar nicht, warum ich überhaupt w1,1, und w2,2 benutzen muss (weil du ja auch oben gemeint hattest, ich hätte das richtig gemacht mit w1,1 ... also den richtigen ausdruck eingesetzt und richtig gerechnet) ... das sind doch 2 Strecken die einfach senkrecht nach unten(oder zur x-Achse) stehen und nicht wichtig sind fürs integral, oder? Weil das Integral beschreibt doch die Fläche! Und diese beiden Wege sind sozusagen nru der "Abschluss" des Integrals.

Und habe mir jetzt gedacht, ich nehme einmal die Kurve W1,2 und "Strecke" W2,1.
Da aber bei W1,2 das t [1;2] definiert ist, sollte ich es umformen, so dass ich für t [0;1] einsetzten kann. Die Umformung lautet dann:




Nur in der Musterlösung suchen die ja ein Weg, der so aussieht:

Bin net ganz drauf gekommen. Weiß net mehr, worans liegt.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist so blöd gestellt, dass man sie 3 Mal durchlesen muss - ein typischer Fall dafür, wie Mathematiker einfache Dinge in komplizierte verwandeln.

Ich übersetze die Aufgabe mal in normale Sprache:

In einer Ebene ist ein Kraftfeld gegeben

(Fx|Fy)=(2xy-x^2|x+y^2)

Dieses Kraftfeld kann man z.B. als Windfeld interpretieren, in dem ein Käfer krabbelt. Zu berechnen ist die mechanische Arbeit, die der Käfer benötigt, wenn er zwei verschiedene Wege zurücklegt, die sich aus je zwei geraden Teilstücken zusammensetzen. Ingesamt hat man also 4 gerade Teilstücke:

Erster Weg: von (0|0) zuerst nach (0|1) und von dort nach (-1|0)

Zweiter Weg: von (0|0) zuerst nach (1|1) und von dort nach (1|0)

Die Art der Parametrisierung, welche in der Aufgabe vorgeschlagen wird, ist (teilweise) unzweckmäßig und macht die Sache unnötig kompliziert. Man sollte den Parameter t bei Integration entlang von Geraden so wählen, dass am Anfang gilt t=0 und am Ende t=1. Das ist nicht zwingend, aber zweckmäßig.

Physikalisch kann man den Parameter t als Zeit interpretieren. Eine andere Wahl der Parametrisierung bedeutet eine andere Wahl der Geschwindigkeit des Käfers. Die Form des Weges bleibt davon unberührt. Der Einfachheit halber wählt man natürlich eine konstante Geschwindigkeit v=dx/dt=1 und keine beschleunigte Bewegung wie in der Aufgabe. Für das Ergebnis des Kurvenintegrals ist das egal, weil die mechanische Arbeit des Käfers unabhängig davon ist, mit welcher Geschwindigkeit er krabbelt.
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ehos
Ich übersetze die Aufgabe mal in normale Sprache:

Ingesamt hat man also 4 gerade Teilstücke:

Erster Weg: von (0|0) zuerst nach (0|1) und von dort nach (-1|0)

Zweiter Weg: von (0|0) zuerst nach (1|1) und von dort nach (1|0)


Meinst du vielleicht? :

Erster Weg: von (0|0) zuerst nach (0|1) und von dort nach (+1|0)

Zweiter Weg: von (0|0) zuerst nach (1|1) und von dort nach (1|0)

Also müsste ich ja trotzdem alle Wege wie im ersten Beitrag beschrieben einfügen, oder?
und für die einzelnen Wege kommt bei mir dann jeweils raus:
Int-F(W1,1)=1/2
Int-F(W1,2)=-5/6
Int-F(W2,1)=17/15
Int-F(W2,2)=-1/3

Insgesamt ergibt bei mri die Aufgabe dann: 7/15
Wo hab ich denn dann den Fehler gemacht??? WebFritzi meinte ja auch ,cih setz überhaupt die ganz falschen Ausdrücke in meine Formeln. Deswegen war ich auch verunsichert, ob ich das jetzt so machen soll, oder nicht.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht. Ich hatte bei einer Koordinate einen Vorzeichenfehler gemacht.

---------
Ich schreibe dir mal die einfachste Parametrisierungen für alle 4 geraden Teilstücke auf. Diese Parametrisierungen können eventuell von der Aufgabenstellung abweichen, wo teilweise unnötig umständliche Parametrisierungen gewählt wurden:

von (0|0) nach (0|1): in den Grenzen t [0;1]

von (0|1) nach (1|0): in den Grenzen t [0;1]

von (0|0) nach (1|1): in den Grenzen t [0;1]

von (1|1) nach (1|0): in den Grenzen t [0;1]

Man wählt die Integrationsgrenzen am besten Im Intervall [0;1], weil das die Rechnung vereinfacht.
------------------

Zu berechnen sind nun 4 Integrale der Gestalt



Wir ersetzen das Differential , indem wir die Geschwindigkeit benutzen. Umstellen ergibt . Damit ersetzen wir im Integral das Differential und erhalten



In diesen Integralen muss man nun die 4 Größen x, y, x', y' durch die Variable t ausdrücken. Ich zeige dies am Beispiel des 2.Teilstückes von (0|1) nach (1|0). Gemäß der obigen Parametrisierung des zweiten Teilstückes muss man wie folgt die Variablen erstetzen.

x=t
y=1-t

Die Komponenten x', y' der Geschwindigkeit sind gerade die Ableitungen der eben genannten Größen nach der Zeit t, also

x'=1
y'=-1

Diese 4 letztgenannten Größen setzt du nun in das Integral ein und erhälst



Den Integranden multiplizierst du wie ein normales Skalarprodukt aus und erhälst nach Zusammenfassen ein einfaches Integral über t.



Für die anderen Teilstücke Nr. 1, 3, 4 machst du das genauso. Viel Erfolg!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ehos



Obwohl du (glaube ich) Physiker bist... Augenzwinkern Man setzt einen solchen Integranden mathematisch korrekt in Klammern.

rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ehos

---------

von (0|0) nach (0|1): in den Grenzen t [0;1]

von (0|1) nach (1|0): in den Grenzen t [0;1]

von (0|0) nach (1|1): in den Grenzen t [0;1]

von (1|1) nach (1|0): in den Grenzen t [0;1]

Man wählt die Integrationsgrenzen am besten Im Intervall [0;1], weil das die Rechnung vereinfacht.
------------------



Den Integranden multiplizierst du wie ein normales Skalarprodukt aus und erhälst nach Zusammenfassen ein einfaches Integral über t.



Für die anderen Teilstücke Nr. 1, 3, 4 machst du das genauso. Viel Erfolg!


Tut mir leid, dass du dir so viel Arbeit gemacht hast, aber das mit dem Einsetzen habe ich schon verstanden, trotzdem danke!
Ich hoffe, du meintest bei deiner 3.Strecke: " von (0|0) nach (1|1): in den Grenzen t [0;1]" Habs jetzt einfach mit dem Quadrat gerechnet.









Ja, also hatte meinen Fehler mit dem nicht gesehen. Aber jetzt fällts wie´n Stein von den Augen.
Danke, hast mir sehr geholfen. Jetzt ist mir auch klar geworden, wie der Prof. in der Musterlösung auf ihr X1 und X2 gekommen ist.... der hat auch nur den zweiten Weg berechnet und den ersten weggelassen. Wollt schon fast aufgeben.
Der Weg 2 mit dem Integral hat jetzt den Wert -1/5, wie in der ML.

Danke Ethos!!
@ WebFrizi: Danke für den Kommentar! Fast hätt ich mir die Schreibweise auch abgeguckt :-P ... ne Spaß ... ich schreibs auch immer ohne Klammer und ohne dt am Ende Augenzwinkern ... solange ich es selber verstehe, ok!
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Schreibweise:
Ich kenne viele Bücher, wo man den Integranden nicht in Klammern setzt. Man fasst dabei das Integralzeichen praktisch als "linke Klammer" auf und das Differential dt als "rechte Klammer". Deshalb kann diese Schreibweise nicht zu Missverständnissen führen.

Tatsächlich ist sie aber nicht korrekt, weil historisch gesehen das von Leibniz eingeführte Integralzeichen den Buchstaben S (wie Summe) bezeichen sollte. Er wollte damit andeuten, dass das Integral eine Summe aus unendlich vielen kleinen Summenden der Gestalt "Integrand mal Differntial dt" ist. In diesem Sinne muss tatsächlich eine Klammer gesetzt werden. Wenn nämlich der Integrand eine Summe ist, bezöge sich der "Faktor" dt nur auf den letzten Summanden, was falsch ist. Manche Leute schreiben das Differential auch unmittelbar hinter dem Integralzeichen und erst danach den Integranden.

Aus Gründen der Einfachheit lasse ich aber die Klammer weg - wie viele andere Leute auch.
---------------------------
Zum Integral beim 3.Teilstück:

Bei der 3.Teilstrecke kannst du in der Tat beide Parametrisierungen (t^2|t) oder (t|t) benutzen - in den Grenzen von t=0 bis t=1. Die zugehörigen "Geschwindigkeiten wären dann (2t|1) bzw. (1|1).

Gerade hier zeigt sich aber, dass deine Parametrisierung die Rechnung unnötig kompliziert macht. Die Ergebnisse müssen natürlich für beide Parametrisierungen übereinstimmen.

Ich bekomme aber ein etwas anderes Ergebnis raus:

Deshalb zeige ich meine Rechnung bei der einfachen Parametrisierung:



Ich hoffe, das stimmt. Rechne aber nochmals nach!
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Jaaaaaaa hat mir jetzt der WebFritzi beigebracht: Big Laugh *freu*
Also das Vektorfeld besitzt kein Potential und ist deshalb nicht wegunabhängig.
Man kann daher nicht sgen, dass beide Wege mit "t²" oder nur "t" als x-Komponente zum gleichen Ergebnis führen.

Hier der Beweis:
___________________________


Noch explizit eine Frage an WebFrizi: Gibt es eine Abkürzungsschreibweise für:
Komponente x von F(x,y) integrieren nach x? und diese Ableiten nach y? Habs mal so gemacht: Hoffe, ist verständlich.




Das Errechnete muss beim Vorhandensein eines Potentials dann mit F(y) übereinstimmen :


hier ist also und hängt daher auch von x ab, was es aber nicht darf, wenn es ein Potential ist.
___________________________

Hoffe, das stimmt jetzt auch so ;P
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »