Normalform orthogonaler Matrix

25.07.2009, 17:15	Philipp Imhof	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalform orthogonaler Matrix Hi! In unserem LAII-Kurs haben wir den Hauptsatz über orthogonale Matrizen behandelt. Dazu gab es dann auch das eine oder andere Beispiel bzw. die eine oder andere Aufgabe, wo es darum geht, zu einer orthogonale Matrix A eine andere orthogonale Matrix P zu bestimmen, sodass $\begin{eqnarray} P^TAP=P^{-1}AP=M \end{eqnarray}$ eine solche Normalform ist. Die Beispiele und Aufgaben waren immer 3x3- oder 4x4-Matrizen, aber dann immer nur solche, bei denen es nur einen cos-sin-Block gab. Dann ist die Sache ja einigermassen einfach: C.P. bestimmen, Eigenräume zu den Eigenwerten 1 und/oder -1 bestimmen, orthogonales Komplement zu den vereinigten Eigenräumen bestimmen und dann alle die gefundenen Basisvektoren normieren; so hat man P. Bloss: Was ist, wenn es eine 4x4-Matrix ist, die keinen reellen Eigenwert hat, also aus zwei cos-sin-Blöcken besteht? Danke
25.07.2009, 18:47	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht denn die Normalform M aus?
25.07.2009, 19:05	Philipp Imhof	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> M= \begin{pmatrix}<br /> 1\\<br /> &\ddots\\<br /> &&1\\<br /> &&&-1<br /> &&&&\ddots\\<br /> &&&&&-1\\<br /> &&&&&&X_1\\<br /> &&&&&&&\ddots\\<br /> &&&&&&&&X_r<br /> \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X_i=\begin{pmatrix}<br /> \cos t_i & -\sin t_i\\<br /> \sin t_i & \cos t_i<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 1\leq i\leq r \end{eqnarray}$ Sorry.

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